1.2. Кинематика.

Движением называют процесс изменения с течением времени положения исследуемого тела по отношению к другим телам. С телом (телами), по отношению к которому изучают движение, связывают систему координат. Система координат и способ измерения времени составляют систему отсчёта. Пространство и время, а также процесс движения, являются формой существования материи. Движение никогда и нигде не прекращается, всегда рассматривается относительно какой-либо системы; только условно можно представить абсолютное движение по отношению к условно неподвижной системе отсчёта, в качестве которой чаще всего используют Землю.

При рассмотрении движения тела, знание законов его движения равноценно знанию законов движения всех точек тела.

Начнём с изучения законов движения точки.

Кинематика точки.

Линия, по которой движется точка, называется траекторией (множество последовательных положений движущейся точки). По форме траектории движение может быть прямолинейным и криволинейным.

Описать движение можно двумя способами:

1. Естественным (задается траектория и уравнение движения по ней в виде функции S = f(t), где S – расстояние от начального положения, измеренное вдоль траектории и называемое путём, а t – время от начала движения). Можно соединить начальное положение точки и положение в интересующий нас момент времени направленным отрезком, называемым перемещением.

2. Координатным, при котором движение задается движением проекций исследуемой точки вдоль осей координат (задаются два уравнения x = f(t) и y=f₁(t) для плоского движения и три уравнения при движении в пространстве, т.е. добавится функция z = f₂(t)). Подставляя время, определим положение проекций точки в любой момент, а тем самым и положение точки А (х, у, z). Можно получить и уравнение траектории, для чего необходимо исключить время.

Разные точки способны двигаться с разной быстротой. Для характеристики быстроты движения вводят величину, называемую скоростью. Если скорость не изменяется во времени, движение называется равномерным; если изменяется – переменным. При равномерном движении по прямой скорость v = S/t и направлена вдоль прямой, по которой движется точка; при переменном и криволинейном движении изменяется величина и направление скорости, что заставляет характеризовать скорость с трех точек зрения: численного значения, направления в пространстве и нахождения точки в пространстве (величины, характеризуемые этими тремя признаками, называют векторными). Таким образом, скорость – векторная величина (имеет численное значение, направление и точку приложения). Направлена скорость в любой точке траектории по касательной к траектории, обозначается буквой v. Для задания численного значения используют два значения:

Среднюю скорость v_ср = ∆S/∆t и мгновенную v_мг = lim∆S/∆t = dS/dt за бесконечно малый промежуток времени. По смыслу скорость – путь за единицу времени; мгновенная скорость – скорость в данный момент времени. Измеряется скорость в м/с. Скорость – первая производная от пути по времени.

Скорость при движении может изменяться, для характеристики быстроты изменения скорости вводят следующую величину – ускорение a; ускорение также является векторной величиной, используют а_ср = ∆v/∆t и a_мг = dv/dt = d²S/dt².

Истинное (мгновенное) ускорение при прямолинейном движении равно первой производной от скорости или второй производной от пути по времени. Измеряется ускорение в м/с².

При движении по криволинейной траектории скорость в процессе движения изменяет своё направление, учитывая векторный характер скорости, можно отметить – ускорение также является векторной величиной и направлено в сторону вогнутости кривой и зависит от степени её изогнутости (кривизны). Для упрощения рассмотрения явлений пользуются скалярными величинами, для чего вводят систему координат (чаще всего прямоугольную) и в ней векторные величины заменяют их проекциями на оси координат. При криволинейном движении полное ускорение проецируют не на оси координат, а на нормаль к траектории и касательную к ней: касательная (тангенциальная) составляющая характеризует изменение скорости по величине и равна а_t =dv/dt; нормальная составляющая характеризует изменение скорости только по направлению и равна а_n =v²/R. При этом полное ускорение а = (а_t ² + a_n ²)^1/2.

В зависимости от составляющих ускорения рассматривают следующие виды движений:

1. a_n = a_t = 0 – равномерное прямолинейное (единственное движение без ускорения).

2. а_t = const ≠ 0; a_n = 0 – равнопеременное прямолинейное.

3. a_t = const ≠ 0; а_n ≠ 0 – равнопеременное криволинейное.

4. a_t = 0; a_n ≠ 0 – равномерное криволинейное.

5. a_t ≠ 0; a_n ≠ 0 – неравномерное криволинейное.

Рассмотрим формулы, описывающие движение: при равномерном движении v = dS/dt = const, что позволяет записать dS = vdt; после интегрирования получаем S – S₀ = vt. При начальных условиях S₀ = 0 имеем v = const, S = vt.

При равнопеременном движении a_t = dv/dt = d²S/dt² = const. Интегрируя первую половину равенства, получим v = v₀ + a_tt; т.к. dS = vdt = (v₀ + a_tt)dt, интегрирование даёт

S = v₀t + a_tt²/2, при равнопеременном движении можно и иначе, а именно S = v_срt = (v + v₀)t/2.

Подставляя сюда t = (v – v₀)/a_t, получим S = (v² –v₀²)/2a_t.

По формулам можно построить и графики изменения соответствующих величин, как для равномерного, так и для переменного движения.

Следует обратить внимание на то, что при задании движения в координатной форме, т.е. x = f(t) и y = f₁(t) мы получаем v_x = dx/dt и v_y = dy/dt, что позволит получить v = (v_x² + v_y²)^1/2. Для ускорения a_x = d²x/dt² и a_y = d² y/dt²a = (a_x² + a_y ²)^1/2.

Движение твёрдого тела.

В механике рассматривается два вида движений твёрдого тела: поступательное (любая прямая, мысленно проведённая в теле, остается параллельной самой себе; при этом все точки тела движутся по одинаковым траекториям, проходят равные пути, имеют одинаковые скорости и ускорения. Это позволяет описывать поступательное движение твёрдого тела, описывая движение одной его точки) и вращательное (как минимум две точки тела не меняют своего положения в пространстве; остальные, находясь на разном расстоянии от оси вращения, движутся по разным траекториям, с разными скоростями и разными ускорениями. Это означает, что линейное перемещение, линейная скорость и линейное ускорение не могут описать вращательное движение). Положение тела в пространстве при вращательном движении необходимо характеризовать углом поворота тела вокруг оси вращения φ, этот угол зависит от времени φ = f(t), перемещение точки при повороте тела s = rφ, где r – расстояние точки от оси вращения.

Для скорости v = ds/dt = d(rφ)/dt = rdφ/dt = rω, ω = dφ/dt называют угловой скоростью, она характеризует быстроту углового перемещения (измеряют её в рад/сек²).

Итак, s = rφ, v = rω, ω =dφ/dt, a_t =dv/dt = rdω/dt = rε, ε = dω/dt = d²φ/dt² .

Классификация вращательных движений будет выглядеть:

1. равномерное вращательное движение ω=const, φ = ωt, a_t = 0, a_n =ω²r=a.

2. неравномерное вращательное движение (угловая скорость изменяется во времени) ε = dω/dt = d²φ/dt² (измеряется в рад/сек²); a_t = εr, a_n = ω² r, a = (a_t² + a_n²)^1/2 = ((εr)² +(ω²r)²)^1/2 = r (ε² + ω⁴)^1/2.

3. равнопеременное вращательное

ε = dω/dt = const, ω = εt + ω₀, аналогично

ω = dφ/dt, φ = ω₀ t + εt²/2.

Однотипность структур формул, описывающих поступательное и вращательное движение, особенно ярко видна в таблице 1:

Таблица 1

Величина	Характер движения	Поступательное	Вращательное
Перемещение	Неравномерное	S = f(t)	φ= f(t)
	Равномерное	S =vt	φ = ωt
	Равнопеременное	S =v0 t +at2 /2	φ=ω0t +εt2 /2
Скорость	Неравномерное	V = ds/dt	ω= dφ/dt
	Равномерное	V = const	ω=const
	Равнопеременное	V = v0 + at	ω=ω0 +εt
Ускорение касательное	Неравномерное	at =dv/dt	ε=dω/dt
	Равномерное	at = 0	ε= 0
	Равнопеременное	at = const	ε=const
Ускорение нормальное		an = v2/r	an=ω2 /r