V. Формулировка ответа на вопрос задачи (вывода о выполнении требования).

Цель: дать ответ на вопрос задачи (подтвердить факт выполнения требования задачи).

Формы и способы выполнения:

1. Построение развернутого истинного суждения вида: "Так как..., то можно сделать вывод, что... (формулируется ответ на вопрос задачи полным предложением в устной или письменной форме).

2. Формулировка полного ответа на во­прос задачи без обосновывающей частиустно или письменно.

3. Формулировка краткого ответа устно или письменно с помощью специальных знаков.

VI. Исследование решения.

Цель: установить, является ли данное решение (результат решения) единствен­ным или возможны и другие результаты (ответы на вопрос задачи), удовлетворяющие условию задачи.

Приемы выполнения:

1. Изменение результата решения в со­ответствии с его смыслом и установление характера (направления) изменений в от­ношениях между измененным результатом и условием задачи.

Подбор другого результата решения и установление соответствия (возможнос­ти соответствия) условию задачи. Оценка степени возможности удовлетворения условию задачи других результатов.

Итак, чтобы решить задачу, нужно вна­чале ознакомиться с ней и понять ее, затем составить план решения, после чего выпол­нить его, сформулировать ответ на вопрос (вывод о выполнении требования) задачи, проверить ход и результат решения; выяс­нить, возможны ли другие результаты ре­шения. Выполнить каждый из перечислен­ных этапов можно, применив один или не­сколько приемов, названных выше или сконструированных на их основе самосто­ятельно.

Часть из перечисленных выше приемов универсальна, т.е. применима к любым за­дачам, другая часть применима лишь к ма­тематическим задачам. Существуют и при­емы более узкого назначения - для задач определенного вида. Выбор данного выше набора приемов обусловлен прежде всего результативностью и конструктивностью, т.е. возможностью расчленения на вполне конкретные и доступные освоению детьми операции.

Выделенные приемы, ис­пользуются явно или неявно в опыте, часть из них представлена в описаниях процессов решения задач.

Представленные элементы теории решения задач, их смыс­лы, содержательное наполнение составля­ют содержание обучения решению задач и соответствующий взгляд на проблему обучения этому содержа­нию.

МЕТОДИКА ИЗУЧЕНИЯ УМНОЖЕНИЯ И ДЕЛЕНИЯ

Тема: Табличное умножение и деление

План:

1. Подготовительный этап к изучению табличного умножения и деления:

- упражнения на нахождение суммы одинаковых слагаемых;

- ознакомление с конкретным смыслом умножения и терминологией;

- изучение перестановки множителей и применение этого правила в вычислениях;

- таблица умножения с числом 2;

- ознакомление с конкретным смыслом действия деления по содержанию, деление на равные части и с терминологией;

- обобщение двух видов деления;

- изучение взаимосвязи между результатом и компонентом действий умножения и деления.

2. Методика изучения табличных случаев умножения и деления.

3. Альтернативные подходы к изучению умножения и деления.

Рекомендательная литература

1. Вершинин Н.Я. Игры при изучении табличных случаев деления и умножения // Начальная школа. – 1987. - №2. – С. 38-39.

2. Истомина Н.Б. Методика обучения математике в начальных классах. – М.: ЛИНКА-ПРЕСС, 1997. – 288 с.

3. Методическая копилка // Начальная школа. – 1998. - №2.

4. Никулина А.Д. Изучение табличного умножения и деления // Начальная школа. – 1987. - №10. – С. 42.

5. Пиядин Н.С. Умножение и деление в новой дидактической системе обучения // Начальная школа. – 1997. - №7. – С. 26-34.

6. Серебрянникова Л.С. Я учу таблицу // Начальная школа. – 1997. - №5. – С. 67-72.

7. Туркина В.М. Работа по составлению таблицы умножения // Начальная школа. – 1987. – 1998. - №5. – С. 58.

8. Унгру Ю.П. Пособие для изучения таблиц сложения и умножения // Начальная школа. – 1987. - №5. – С. 42-43.

9. Урок в системе развивающего обучения: из опыта работы / под ред. Дусавицкого А.К. – Харьков, 1998. – 61 с.

10. Уткина Н.В. Таблица умножения // Изучение трудных тем по математике в 1-3 классах / Сост. Н.Г.Уткина. – М.: Просвещение, 1982.

Новые арифметические действия умножения и деления вводятся в четвертой четверти 2 класса. Основная задача в этот период состоит в том, чтобы ребенок понял конкретный смысл этих действий.

Так как умножение является частным случаем сложения, то данную работу можно провести следующим образом. Предлагаем ребенку 7-8 различных сумм, среди которых 2-3 состоят одинаковых слагаемых:

2 + 3 + 4 = 5 + 5 = 3 + 3 + 3 + 3 =

3 + 3 + 7 = 9 + 4 = 7 + 5 + 3 =

Сравнивая между собой эти суммы, выделяем те из них, которые состоят из одинаковых слагаемых. После этого можно объяснить, что в математике такие суммы записываются более кратко: сначала пишется число, которое складывается, затем пишется число, равное количеству слагаемых, и между ними ставится точка, обозначающая новое действие – умножение:

5 + 5 = 5 · 2 (но не 2 · 5);

3 + 3 + 3 + 3 = 3 · 4;

7 + 7 + 7 = 7 · 3.

Убедившись, что ребенок понял смысл умножения, ему можно предложить потренироваться в замене сложения умножением и наоборот.

Так же как и у других действий, у умножения каждое число имеет свое «имя»:

После усвоения конкретного смысла умножения можно перейти к следующему действию – делению. Различают два вида деления: 1) деление по содержанию; 2) деление на равные части. Приведем примеры этих видов деления:

Деление по содержанию	6 карандашей разложили в коробки, по 2 карандаша в каждую. Сколько потребовалось коробок?
Деление на равные части	6 карандашей разложили поровну в 3 коробки. Сколько карандашей в каждой коробке?

Знакомство с действием деления лучше начинать с деления по содержанию на основе практических действий с предметами усваивается конкретный смысл деления, показывается его запись. После этого можно перейти к делению на равные части.

Правила нахождения неизвестных компонентов умножения и

деления

Правило нахождения неизвестных множителя, делимого и делителя изучаются по одной и той же схеме в начале 3 класса: 1) на основе практической задачи составляется пример на умножение или деление; 2) к нему подбираются два взаимно-обратных примера; 3) на основе соотнесения названий компонентов в этих взаимно-обратных примерах выводятся соответствующие правила.

Рассмотрим это на примере правила нахождения неизвестного множителя.

1) 4 · 3 = 12;

2) 12 : 4 = 3;

3) 12 : 3 = 4.

Так как 3 и 4 – это множители, а 12 – произведение, то из 2) и 3) легко выводится правило:

Если произведение двух чисел разделить на один из множителей, то получится другой множитель.

Аналогично выводятся правила нахождения неизвестного делимого и делителя.

Табличное умножение и деление

Табличное умножение и деление является центральной темой 3 класса. От того, насколько у ребенка будут успешно сформированы навыки в пределах табличных случаев, во многом зависит процесс дальнейшего освоения арифметических действий. Табличное умножение и деление к концу 3 класса должно быть отработано до автоматизма. Для сокращения количества случаев табличного умножения и деления предварительно изучается переместительное свойство умножения. Это позволяет после знакомства, например, со случаем 3 · 8 не рассматривать отдельно случай 8 · 3, т.к. 3 · 8 = 8 · 3.

Изучение всех случаев табличного умножения и деления от 2 до 9 равномерно рассредоточено в течение длительного времени и осуществляется по одному и тому же плану. Поэтому мы ограничимся рассмотрением этой темы на примере числа 4.

В подготовительный период нужно хорошо отработать следующие вопросы: понимание конкретного смысла действий умножения и деления; название компонентов и результатов этих действий и правило нахождения неизвестного множителя; переместительное свойство умножения; счет «четверками».

Эти опорные знания используются при составлении следующих четырех столбиков примеров:

4 · 4 =				16 : 4 =
4 · 5 =		5 · 4 =		20 : 4 =		20 : 5 =
4 · 6 =		6 · 4 =		24 : 4 =		24 : 6 =
4 · 7 =		7 · 4 =		28 : 4 =		28 : 7 =
4 · 8 =		8 · 4 =		32 : 4 =		32 : 8 =
4 · 9 =		9 · 4 =		36 : 4 =		36 : 9 =

Результаты первого столбика находятся на основе перехода от умножения к сложению:

4 · 4 = 4 + 4 + 4 + 4 = 16;

4 · 5 = 4 · 4 + 4 = 16 + 4 = 20;

………..............

4 · 9 = 4 · 8 + 4 = 32 + 4 = 36.

Результаты второго столбика составляются на основе первого столбика с использованием переместительного свойства умножения («так как 4· 7 = 28, то и 7 · 4 = 28»).

Результаты третьего и четвертого столбиков также составляются на основе первого столбика с использованием правила нахождения неизвестного множителя: «Если произведение 20 разделить на первый множитель 4, то получится второй множитель - 5». Только разобравшись со способами нахождения результата для каждого примера, можно переходить к заучиванию таблицы умножения и деления наизусть.

Тема: Внетабличное умножение и деление

План:

1. Общая характеристика темы.

2. Теоретическая основа изучения внетабличного умножения:

а) правило умножения суммы на число;

б) умножение десятков на число;

в) формирование вычислительного приема;

3. Теоретическая основа изучения внетабличного деления:

а) правило деления суммы на число;

б) деление десятков на число;

в) формирование вычислительного навыка.

4. Деление двузначного числа на двузначное.

5. Последовательность изучения деления с остатком.

6. Частные и особые случаи умножения и деления с 0 и 1.

7. Анализ методических статей по теме.

Рекомендательная литература

1. Уткина Н.Г. Изучение трудных тем по математике. – С. 71-88.

2. Вапняр Н.Ф. Изучение темы «Деление с остатком» // Начальная школа. – 1981. - №1. – С. 36-38.

3. Степанова С.В. Случаи умножения и деления с числами 0 и 1 // Начальная школа. – 1984. - №10. – С. 42-45.

4. Ивашова О.А. К вопросу о рационализации вычислений // Начальная школа. – 1998. – №2. – С. 86-90.

Внетабличное умножение и деление изучается в следующей последовательности:

1. Умножение и деление разрядных чисел вида 20·3; 3·20; 60:2; 80:20;

2. Правило умножения суммы на число;

3. Умножение двузначного числа на однозначное;

4. Правило деления суммы на число;

5. Деление двузначного числа на однозначное;

6. Деление двузначного числа на двузначное;

7. Умножение и деление разрядных чисел.

Умножение и деление разрядных чисел сводится к умножению и делению однозначных чисел:

20 · 4 =		60 : 2 =		2 · 30 =
2 д. · 4 = 8 д.		6 д. : 2 = 3 д.		30 · 2 = 60

Правило умножения суммы на число

Правило умножения суммы на число выполняет роль теоретического обоснования умножения двузначного числа на однозначное, а правило деления суммы на число - деления двузначного числа на однозначное. Методику изучения правил рассмотрим на примере правила умножения суммы на число.

При изучении этого правила ребенок должен понять, что суммы на число можно умножить двумя способами: 1) вычислить сумму и результат умножить на число; 2) каждое слагаемое умножить на число и полученные результаты сложить. Для этого целесообразно использовать следующую наглядность:

На этом рисунке изображены два ряда геометрических фигур, по 4 квадрата и 3 кружка в каждом ряду. Нужно посчитать, сколько всего геометрических фигур изображено на рисунке. Это можно сделать двумя способами:

1) сложить количество кружков и квадратов в одном ряду ( 4 + 3) и полученный результат умножить на 2:

(4 + 3) · 2 = 7 · 2 = 14;

2) отдельно посчитать квадраты и отдельно – кружки, а затем полученные результаты сложить:

(4 + 3) · 2 = 4 · 2 + 3 · 2 = 8 + 6 = 14.

Умножение двузначного числа на однозначное

Освоение приема умножения двузначного числа на однозначное осуществляется в следующей последовательности:

1) Выполнение приема на уровне предметных действий. Например, при решении примера 23 · 4 можно четыре раза взять по два пучка палочек (число 20) и по три отдельных палочки.

2) Моделирование предметных действий в виде схемы:

23 · 4 = 92.

1)Числовая запись вычислительного приема:

23 · 4 = (20 + 3) · 4 = 20 · 4 + 3 · 4 = 80 + 12 = 92.

При выполнении данного вычислительного приема требуются следующие опорные знания: а) замена двузначного числа суммой разрядных слагаемых (23 = 20 + 3); б) умножение разрядного числа на однозначное (20 · 4); в) табличное умножение (3 · 4); г) сложение двузначных чисел (80 + 12). Все эти опорные знания необходимо включить в подготовительный этап, предшествующий освоению вычислительного приема.

Аналогичным образом изучается деление двузначного числа на однозначное.

Деление двузначного числа на двузначное

Деление двузначного числа на двузначное производится методом подбора, например, решая пример 72 : 12, ребенок рассуждает следующим образом: «Подберем число, которое при умножении на 12 даст число 72. это будет число 6. значит, 72 12 = 6».

Деление с остатком

Основное назначение данной темы – подготовить ребенка к выполнению деления многозначных чисел «уголком».

На первом этапе следует обратить его внимание на то, что не всегда одно число делится на другое. В этом случае говорят о делении с остатком. Запись деления с остатком выглядит так:

17 : 3 = 5 (ост. 2).

На следующем этапе осуществляется знакомство с основным свойством деления с остатком: остаток от деления всегда меньше делителя. Это можно сделать следующим образом. Выберем несколько чисел, например: 12, 13, 14, 15, 16, 17. Будем поочередно каждое из этих чисел делить на числа 2. 3, 4, фиксируя получившиеся при этом остатки. Это удобно сделать в виде таблицы:

Делитель	Остаток
2	0, 1
3	0, 1, 2
4	0, 1, 2, 3

Сравнивая остатки с делителем, ребенок может сам сделать вывод о том, что остаток всегда меньше делителя. В противном случае цифру частного можно увеличить на единицу.

Особые случаи умножения и деления

Умножение единицы на число:

1 · 4 = 4.

Основание: 1 · 4 = 1 + 1 + 1 + 1 = 4.

Умножение числа на единицу:

3 · 1 = 3.

Обоснование: этот случай нельзя обосновать путем перехода к сложению («взять число 3 слагаемым один раз»), т.к. сумм с одним слагаемым не существует. Поэтому данный случай является исключением и не обосновывается, а вводится в виде правила: «При умножении любого числа на 1 получается то же самое число».

Деление на единицу:

5 : 1 = 5.

Обоснование проводится путем перехода от деления к умножению: «Какое число нужно умножить на 1, чтобы получить 5? Число 5. Значит, 5 разделить на 1 будет 5».

Умножение и деление с числом 10:

10 · 4 = 40; 4 · 10 = 40; 40 : 4 = 10; 40 : 10 = 4.

Обоснование. Так как 10 = 1 дес., то данные случаи сводятся к умножению и делению с числом 1.

Умножение нуля на число:

0 4 = 0.

Обоснование: 0 · 4 = 0 + 0 + 0 + 0 = 0.

Умножение числа на нуль:

3 · 0 = 0.

Обоснование: этот случай также нельзя обосновать путем перехода к сложению («взять число 3 слагаемым нуль раз»), т.к. сумм с нулем слагаемых не существует. поэтому данный случай также является исключением и не обосновывается, а вводится в виде правила: «При умножении любого числа на нуль получается нуль».

Деление числа на нуль:

5 : 0 = ?

Обоснование проводится также путем перехода от деления к умножению: «Какое число нужно умножить на 0, чтобы получить 5? Такого числа не существует. Значит, на нуль делить нельзя!»

Тема: Умножение и деление на однозначное число

План:

1. Умножение и деление трехзначного числа на однозначное число.

2. Умножение и деление многозначного числа на однозначное число:

- повторение основной теории (смысл умножения и деления, свойства действий связь компонентов и результата действий, частные и особые случаи);

- устные и письменные вычисления;

- алгоритм письменного умножения и деления.

3. Формирование навыков письменного умножения и деления при рассмотрении частных случаев:

- умножение и деление числа с нулем в конце и в середине записи числа;

- определение первого неполного делимого при делении на однозначное число;

- определение количества цифр в частном и пробной цифры в частном;

- случай, когда хотя бы одна из цифр частного – нуль.

4. Анализ журнальных статей по теме.

Рекомендательная литература

1. Шандрук Т.Н. Случай деления с нулем в частном // Начальная школа. – 1982. - №3. – С. 56.

2. Бельтюкова Г.В. Приемы проверки пробной цифры частного // Начальная школа. – 1978. - №2. – С. 38-42.

Умножение на однозначное число

а) При подготовке к изучению этого приема необходимо повторить правило умножения суммы на число, которое обосновывает данный вычислительный прием.

б) После этого рассматривается развернутая запись умножения числа на однозначное;

284 : 3 = (200 + 40 + 8) · 3 = 600 + 120 + 24 = 744.

в) Показывается краткая запись этого вычислительного приема в столбик:

2	2
	3
	744

Если ребенок затрудняется сразу перейти от развернутой формы записи к краткой (в этом случае промежуточные результаты необходимо «держать в уме»), то можно порекомендовать использование полуразвернутой записи:

×	248
	3
+ +	600
	120
	24
	744

Деление на однозначное число

Опорными знаниями для этого приема служат: правило деления суммы на число, деление с остатком, табличное умножение и деление, сложение и вычитание двузначных чисел, разрядный состав многозначных чисел.

Развернутая запись приема выглядит следующим образом:

867: 3 = (600 + 240 + 27) : 3 = 600 : 3 + 240 : 3 + 27 : 3 = 200 + 80 + 9 = 289.

Однако трехзначное число заменить суммой удобных слагаемых (так, чтобы каждое делилось без остатка на данное число) уже значительно сложнее, чем двузначное. Этим обосновывается переход к краткой записи приема.

Краткая запись деления «углом» выполняется по алгоритму:

–	867	3
	6	289
‗	26
	24
‗	27
	27
	0

1) Узнаем, сколько цифр будет в частном. Для этого найдем первое неполное делимое – 8 сотен. Значит, в частном будет три цифры (на месте этих цифр ставим три точки.)

2) Найдем первую цифру частного. Для этого первое неполное делимое (8 сотен) разделим на 3, получим 2 сотни (записываем эту цифру в частном.) Узнаем, сколько сотен разделили. 2 сотни умножим на 3, получим 6 сотен. Узнаем, сколько сотен осталось. Из 8 сотен вычтем 6 сотен, останется 2 сотни. Остаток меньше делителя, значит первая цифра частного подобрана верно.

3) Найдем вторую цифру частного. (Оставшиеся две сотни дробятся в десятки и процесс повторяется, но уже не с сотнями, а с десятками.) В итоге находим вторую цифру частного.

4) Аналогично находится третья цифра частного.

Тема: Умножение и деление на двузначное число

План:

1. Теоретическая основа приемов умножения на двузначное и трехзначное число.

2. Умножение и деление на двузначное число.

3. Умножение и деление на трехзначное число как обобщение алгоритмов письменного умножения и деления.

4. Виды упражнений для совершенствования вычислительных навыков.

5. Формирование навыков письменного умножения и деления многозначных чисел на двузначное (трехзначное) число, использование приемов:

- обучение подбору цифр частного;

- нахождение цифр частного;

- приемы проверки пробной цифры частного;

- предупреждение ошибок учащихся при умножении и делении многозначных чисел;

- случай деления с нулем в частном;

- приемы самоконтроля при выполнении умножения и деления многозначных чисел.

6. Анализ альтернативных подходов.

Рекомендательная литература

1. Гребенникова Н.Л. умножение и деление многозначных чисел: Учебно-методическое пособие для учителей и студентов. – Стерлитамак: Стерлитамак. гос. пед. ин-т., 1996. – С. 91.

2. Истомина Н.Б. Методика обучения математике в начальных классах. – М.: ЛИНКА-ПРЕСС, 1997. – С. 288.

3. Урок в системе развивающего обучения: Из опыта работы / под ред. Дусавицкого А.К. – Харьков, 1998. – С. 61.

Это самая объемная тема в 4 классе. В результате ее изучения дети должны приобрести прочные навыки умножения и деления «в столбик» на однозначное, двузначное и трехзначное число, а также знать свойства арифметических действий, которые обосновывают данные вычислительные приемы.

Эта тема изучается в определенной последовательности.

Умножение и деление многозначного числа

на однозначное

Данная тема уже рассматривалась в 3 классе на примере умножения и деления трехзначного числа на однозначное. Опираясь на имеющиеся у ребенка знания соответствующих алгоритмов, можно легко их распространить на любые многозначные числа. При этом следует учесть, что первый шаг алгоритма связанный с определением количества цифр в частном и их фиксацией в виде точек, имеет большое значение для предупреждения ошибок при выполнении деления в случаях, когда в записи частного содержатся нули:

–	432		4
	4		108
	–	32
		32
	0

В этом случае дети часто пропускают в частном цифру 0 и вместо ответа 108 получают 18.

Умножение чисел, оканчивающихся нулями

На подготовительном этапе к изучению данного приема дети знакомятся с правилом умножения числа на произведение, которое выполняет роль теоретического обоснования. Рассмотрим пример умножения числа на произведение 3 (4 · 2), необходимо раскрыть три способа нахождения результата:

1. 3 · (4 · 2) = 3 · 8 = 24;

2. 3 · (4 · 2) = (3 · 4) · 2 = 24;

3. 3 · (4 · 2) = (3 · 2) · 4 = 24.

Для иллюстрации данного правила можно обратиться к подсчету кубиков в прямоугольном параллелепипеде размером 3 × 4 × 2 кубика. Каждому способу умножения числа на произведение соответствует определенный способ подсчета кубиков в параллелепипеде.

После этого можно переходить к развернутой записи умножения чисел, оканчивающихся нулями:

621 · 30 = 621 · (3 · 10) = 621 · 3 · 10 = 1863 · 10 = 18630.

Однако устно выполнить это умножение сложно, поэтому осуществляется переход к краткой записи, опирающейся на

×	621
	30
	18630

Аналогично выполняется умножение чисел, содержащих нули в каждом множителе:

×	5230
	60
	313800

Таким образом, изучение каждого нового вычислительного приема опирается на уже ранее освоенные ребенком приемы.

По аналогичной схеме изучается деление чисел, оканчивающихся нулями, умножение и деление на двузначное и трехзначное число. Теоретическим обоснованием деления чисел, оканчивающихся нулями, служит правило деления числа на произведение.

Нахождение цифр частного при делении

многозначных чисел

Письменные вычисления, как правило, в преобладающем большинстве III – IV классов усваиваются учащимися удовлетворительно. Наиболее трудными оказываются действия над многозначными числами с нулями в компонентах и результатах действий, и поэтому наибольшее число ошибок встречается именно в этих действиях.

Причина их – недостаточное усвоение учащимися нумерации многозначных чисел. Для предупреждения таких ошибок учителя должны добиваться, чтобы перед переходом к действиям с многозначными числами учащиеся хорошо усвоили состав многозначных чисел, представление числа в единицах различных разрядов.

Наиболее трудным для учащихся начальной школы является

деление многозначных чисел на двузначное и трехзначное. Массовым видом ошибок учащихся при выполнении этого арифметического

-	3681	9
	36	49
81
81
0

- пропуск нуля в частном (409).

―	64454	67
	603	9512
―	415
	335
	80
	67
―	134
	134

- неверно подписано число 415, ошибка в подборе частного – цифра 5.

Причиной таких ошибок является не только недостаточное усвоение учащимися техники деления многозначных чисел, но и неумение определить наивысший разряд частного, первое неполное делимое. В первом случае, разделив 3 тысячи на 9 единиц, ученик получил только 49 единиц, хотя деление 3 тысяч даже на 10 дает 300 единиц, а если делить на 9, то результат будет еще больше. И во втором случае примерный подсчет деления 64 тысяч на 67 должен подсказать, что частное не может быть больше тысячи.

Итак, предварительная прикидка частного является очень важным практическим навыком самоконтроля, предупреждающим многие грубые ошибки при делении многозначных чисел.

Для предупреждения таких ошибок можно учить учащихся сразу определять, какой примерно наивысший разряд должны они получить в частном, исходя из наивысшего разряда делимого и делителя. Так, перед выполнением деления во втором примере ученик может определить, что частное не должно быть больше тысячи.

Навыки письменного деления чисел на двузначное число и особенно на трехзначное у учащихся, закончивших начальную школу, не всегда соответствуют требованиям. Об этом свидетельствует многих учителей, ведущих математику в IV классе, а также результаты проверочных работ.

Трудности в подборе цифр частного не только сказываются на времени, затрачиваемом на выполнение задания, но часто приводит к тому, что учащиеся теряют уверенность в своих силах и не могут закончить решение одного примера и приступить к решению следующего.

Однако, можно подготовить учащихся к решению примеров данного вида, если вести для этого специальную работу.

Нахождение верной цифры частного – составная часть алгоритма письменного деления многозначных чисел. Выполнение этой операции включает в себя:

1. нахождение пробной цифры частного,

1. проверка найденной пробной цифры.

Остановимся на рассмотрении первого из этих этапов.

При нахождении пробной цифры частного учащиеся должны уметь, во-первых, округлить делитель до одной значащей цифры и, во-вторых, разделить неполное делимое на полученное число, оканчивающееся нулями. В учебнике математике автора М.И. Моро неявно используется прием округления, однако обучение этому программой не предусмотрено. Кроме этого, специальное изучение показало, что большинство учащихся не пользуются приемом округления делителя и делимого.

Учащиеся быстрее находят цифру частного, если при нахождении пробной цифры они округляют делитель до ближайшего круглого числа, меньшего или большего его. Они могут выполнять округление на основании знания расположения чисел в натуральном ряду, правила образования числа. Поэтому, мы считаем нужным, при выполнении письменного деления округлять делитель до ближайшего круглого числа. Это способствует рационализации вычислений, так как учитель формирует у учащихся не только прочные, но и рациональные вычислительные навыки.

При изучении деления на трехзначное число полезно включать в устную работу с учащимися упражнения вида:

1. Округление до ближайшего круглого числа.

1. Сколько сотен, десятков, единиц в числе: 238, 368, 850?

2. Между какими ближайшими числами, оканчивающимися двумя нулями, находится число: 238, 368, 644, 850?

3. К какому из чисел:

• 100 или 200 ближе число 238;

• 300 или 400 ближе число 368;

• 600 или 700 ближе число 644;

• 300 или 400 ближе число 850?

4. Замени каждое из чисел: 238, 368, 644, 850 ближайшим числом, оканчивающимся двумя нулями.

   2. На нахождение цифры частного.

Найди частное:

80 : 20 94 : 30 600 : 200 823 : 200

140 : 70 547 : 60 1 200 : 300 1 656 : 400

160 : 50 674 : 80 1 700 : 500 1 368 : 600

Устные упражнения приведенного вида помогут сформировать умение рационально находить цифры частного.

Прием подбора цифры частного знаком учащимся еще со 2^го класса, когда они знакомятся с конкретным смыслом деления:

12 : 3 =?

Какое число нужно подобрать, чтобы при умножении на 3 получилось 12?

В 3 ^ем классе в теме «Внетабличное умножение и деление» учащиеся дважды встречаются с этим приемом: при подготовке к делению, вида

80 : 40 = - какое число надо умножить на 40, чтобы получилось 80?

и делении двузначного числа на двузначное вида 95 : 19 - можно делать прикидку частного путем округления делимого и делителя:

Так как 95 ≈ 100

19 ≈ 20, то пример 95 : 19 можно заменить примером

100 : 20=5, затем эту цифру проверить:

5  19=19  5=95.

Если в дальнейшем не упускать ни одной детали в кропотливой подготовительной работе к изучению деления многозначных чисел, можно предупредить многие ошибки учащихся.

Большинство учащихся, определяя цифры частного, пользуются либо табличным умножением, либо формально заучив алгоритм письменного деления, опираются на количество цифр делителя:

798	21

- так как в делителе 2 цифры, сначала делят 79 на 21.

Чаще всего учащиеся находят цифру частного перебором – исправление цифр в работах учащихся подтверждают этот характер ошибки.

Однако, в традиционном обучении дети имеют достаточные знания для ознакомления с приемом округления делимого и делителя и применения его в вычислениях.

Определяя необходимые для этого теоретические знания, учитель сможет подобрать соответствующие подготовительные упражнения.

Так, выполняя деление вида 2208	48

Определяем первое неполное делимое: так как делитель равен 48, то 22 сотни нельзя разделить на 48, чтобы получилась хотя бы одна сотня. Будем делить десятки: в числе 220 десятков. Этот шаг алгоритма выводит учителя на упражнения, в которых нужно определить общее количество единиц каждого разряда и отдельных единиц каждого разряда:

• прочитайте число 2208

• сколько в нем всего единиц? отдельных единиц?

• сколько в числе всего десятков? отдельных десятков?

• сколько в числе всего сотен? отдельных сотен?

Выполняем деление 220 : 48 – на этом этапе применим прием округления. Дети определяют:

220 это число близкое к 200, а

48 находится ближе к 50.

Здесь, как и в предыдущем задании при округлении обоих чисел удобно ориентироваться на натуральный ряд чисел. Эти знания учащиеся применяют с 1^го класса. На уроке можно вспомнить их.

Между какими круглыми числами находятся числа:

228, 2208, 22080?

200 < 220 < 228 < 230 < 250

2000 < 2200 < 2208 < 2300 < 3000

22000 < 22080 < 22100.

Следующий вид задания, который представляет собой теоретическую основу подготовки учащихся – это деление круглого числа на круглое число. Предварительно можно выполнить задание –

Уменьшить в 10 раз, в 100 раз следующие числа:

220 2200

180 180.

Как это делать?

После этого – связанное с ним задание. Выполните деление:

220 : 20 2200 : 200

180 : 20 1800 : 200

Как это сделать?

Предложенные задания имеют в своей основе следующие знания нумерации: разрядный состав многозначного числа, поместное значение цифры в записи числа, умение находить место числа в числовом ряду, уменьшение числа в 10, 100, 1000 раз. Для выполнения последнего задания повторяется правило деления по частям – сначала делим на 10 (или 100), затем на однозначное число:

220 : 20 = 220 : (10  2) = 220 : 10 : 2 = 22 : 2 = 11.

Акцентрируя внимание на подготовительных заданиях, мы подчеркиваем еще раз то, что эту работу нужно вести еще задолго до обучения младших школьников письменному делению многозначных чисел на двузначное и трехзначное число. Еще при изучении нумерации в каждом классе можно выполнять приведенные выше задания. Тогда они станут не просто подготовительными упражнениями, в них заключается теоретическая основа вычислительного приема округления делимого и делителя. При систематической работе учителя над подготовкой к обучению деления многозначных чисел эти теоретические знания постепенно сформируются в вычислительный навык.

Этот навык можно развивать в следующих заданиях:

Не выполняя деления, сравни пары примеров

19488 : 48 = 22080 : 48 =

49488 : 48 = 52080 : 48 =

Чем они отличаются?

Чем отличаются результаты в каждой паре примеров?

После большой подготовительной работы рассуждения учащихся могут принять такой вид:

19488	48

194 ≈ 200

48 ≈ 50

200 : 50 = 200 : (10  5) = 200 : 10 : 5 = 20 : 5 =4.

Выполняя действия, учащиеся устно выполняют округление, деление на круглое число, определяют пробную цифру в частном, проверяем ее.

В алгоритме письменного деления этот этап, на наш взгляд, самый трудный. Поэтому большое внимание мы уделяем подготовительной работе, делая вычисления осознанными, прочными. Учащиеся постепенно учатся округлять не только до круглых сотен.

534264	89

В данном случае удобнее округлить делимое и делитель так, чтобы свести к табличному случаю при помощи следующих рассуждений:

534 ≈ 540

89 ≈ 90

540 : 90 = 540 : (10  9) = 540 : 10 : 9 = 54 : 9 = 6.

Ученики подыскивают такое число, чтобы деление можно было свести к табличному. То есть 534 удобно округлять не до 500, а до 540, чтобы затем разделить на 90.

На последующих уроках до того, как приступить к основной работе наиболее полезными являются группы примеров:

1. Найди пробную цифру частного, округляя делимое и делитель до ближайшего круглого числа:

67 : 31 396 : 124

168 : 53 2 315 : 431

145 : 69 4 253 : 682

294 : 87 2 038 : 893

2. Найдите частное:

56 : 14 288 : 72

92 : 23 415 : 83

72 ; 18 268 : 67

78 : 39 891 : 99

Характер приведенных заданий выявляет еще одну важную проблему к 4 классу: усложняется теория, арифметические выражения, достаточно сложна терминология, которой овладевают учащиеся.

Неумение четко и лаконично, правильным языком формулировать умозаключения свидетельствует о недостаточном математическом языке учащихся. Устный опрос учащихся показывает, что в большинстве случаев учащийся понимает смысл подбора тех чисел, над которыми производит действия, но не умеет правильно изложить свои соображения.

Для предупреждения таких ошибок опытные учителя проводят большую и настойчивую работу по развитию математического языка учащихся. Не ограничивая учащихся выбором одного из способов решения, опытные учителя систематически приучают учащихся искать наиболее рациональные способы решения задач.

Такая устойчивая, продуманная во всех деталях работа учителя над формированием навыков деления дает хорошие результаты.