63. Гипотеза наибольших нормальных напряжений (I теория прочности)

В основу теории наибольших нормальных напряжений (Галилей, 1638 г) положена гипотеза о преимущественном влиянии наибольших по абсолютной величине нормальных напряжений.Согласно данной теории прочности опасное состояние материала при сложном напряженном состоянии наступает тогда, когда наибольшее из главных напряжений достигает величины, соответствующей пределу прочности при простом растяжении.В этом случае условие прочности должно иметь вид:

- при растяжении,

- при сжатии.

Данная гипотеза удовлетворительно согласуется с результатами испытания деталей из хрупких материалов, таких как камень, кирпич, чугун. Для расчета деталей из пластичных материалов данная гипотеза непригодна.

Гипотеза наибольших линейных деформаций (II теория прочности

В основу теории наибольших линейных деформаций (Мариотт, 1682 г.) положена гипотеза о преимущественном влиянии наибольших по абсолютной величине линейных деформаций.Согласно данной теории прочности опасное состояние материала при сложном напряженном состоянии наступает тогда, когда наибольшее из относительных удлинений достигает опасной величины, соответствующей пределу прочности при простом растяжении. Максимальные относительные деформации в соответствии с обобщенным законом Гука

при растяжении,

при сжатии

при простом растяжении

Предельное значение относительной деформации при растяжении

На основании сформулированной гипотезы, имеем

Сравнивая с условием наступления предельного состояния , получим эквивалентное напряжение по II теории прочности:

Условие прочности имеет следующий вид

растяжение

сжатие. Вытекает, что простое растяжение более опасно нежели сложное. Опыты этого не подтверждают. В связи с этим данная теория для расчета деталей не используется.

Критерий наибольших касательных напряжений [третья (III) теория прочности]. Здесь в качестве критерия прочности принята величина наибольшего касательного напряжения. Согласно этой теории предполагается, что предельное состояние в общем случае наступает тогда, когда наибольшее касательное напряжение достигает опасного значения . Последнее определяется при достижении предельного состояния в случае простого растяжения.Условие разрушения имеет вид условие прочности- так как то условия разрушения и прочности (10.7), (10.8) можно выразить через главные напряжения так

Таким образом, эквивалентным напряжением по третьей теории является разность алгебраически наибольшего и наименьшего главных напряжений: Третья теория прочности, в общем, хорошо подтверждается опытами для материалов, одинаково работающих на растяжение и сжатие. Недостаток ее заключается в том, что она не учитывает среднего по величине главного напряжения , которое, как показывают опыты, оказывает также некоторое, хотя во многих случаях и незначительное, влияние на прочность материала.Отметим, что критерий наибольших касательных напряжений обычно рассматривается как условие начала образования пластических (остаточных) деформаций. Последние являются результатом скольжения слоев атомов в кристалле по определенным кристаллографическим плоскостям. Это становится возможным в случае, когда на указанных плоскостях скольжения касательные напряжения достигают некоторой предельной величины.Таким образом, в качестве критерия, определяющего наступление текучести материала, можно принять величину наибольшего касательного напряжения.Считая предельным состоянием наступление текучести, из равенства имеем Это условие достаточно удовлетворительно описывает начало пластической деформации для многих металлов и сплавов.

Критерий удельной потенциальной энергии формоизменения [четвертая (IV) теория прочности]. В качестве критерия прочности в этом случае принимают количество удельной потенциальной энергии формоизменения, накопленной деформированным элементом. Согласно этой теории, опасное состояние (текучесть) в общем случае напряженного состояния наступает тогда, когда удельная потенциальная энергия формоизменения достигает своего предельного значения. Последнее можно легко определить при простом растяжении в момент текучести.Условие наступления текучести — условие прочности- Предполагая, что закон Гука справедлив вплоть до наступления предельного состояния, можно потенциальную энергию формоизменения в общем случае напряженного состояния записать в виде При простом растяжении в момент текучести имеем Следовательно, условие после подстановки выражений преобразовывается так: или Условие прочности будет следующим Следовательно, эквивалентное напряжение по четвертой теории Заметим, что совпадает с выражением для интенсивности напряжений .Опыты хорошо подтверждают четвертую теорию для пластичных материалов, одинаково работающих на растяжение и на сжатие. Появление в материале малых пластических деформаций четвертой теорией определяется более точно, чем третьей.Следует отметить, что выражение (10.20) с точностью до постоянного множителя совпадает с выражением для касательного напряжения на октаэдрической площадке, равнонаклоненной к трем главным направлениям. Поэтому расчетные уравнения четвертой теории прочности можно получить исходя из критерия постоянства октаэдрических касательных напряжений: Такая трактовка освобождает рассматриваемую теорию прочности от ограничений, связанных с областью применимости закона Гука, и дает возможность установить условия начала не только пластических деформаций, но и разрушения.

Теория прочности Мора(5 теория) в отличие от изложенных не содержит критериальной гипотезы и состоит в установлении определенной зависимости прочностных свойств материала от вида его напряженного состояния. За характеристики напряженного состояния в общем случае принимается наибольшее касательное напряжение и нормальное, действующее на той площадке, на которой действует это касательное. Условие наступления текучести определяется огибающей больших кругов напряжений (кругов Мора) для предельных напряженных состояний. При этом влияние среднего напряжения σ2 не учитывается. Текучесть наступает тогда, когда большой круг напряжений для рассматриваемого напряженного состояния коснется этой огибающей (см рис.). Приведенные напряжения для материалов с одинаковым пределом текучести при растяжении и сжатии в случае объемного напряженного состояния записываются так: пр= 1–a* 3

при плоском напряженном состоянии: пр=(1-а)/2*( х+ у)+(1+а)/2*(( х- у)^2+4 ху^2)под корнем вся скобка! Где а=сигма т/сигма т.сж.=сигма т-тау т/тау т

при текучести и а=сигма е/сигма е.сж.=сигма е-тау е/тау е при разрушении

Для хрупких материалов с различным сопротивлением растяжению и сжатию

условие разрушения определяется по теории Мора огибающей предельных кругов напряжений, соответствующих разрушению (рис. б). В этом случае приведенные напряжения при объемном напряженном состоянии; сигма пр= b*сигма 1-сигма 3

при плоском напряженном состоянии:сигма пр= (b-1)/2*(сигма х+сигма у)+(1+b)/2*((сигма х-сигма у)^2+4тау ху^2)под корнем вся скобка!

Где b= сигма т.сж/сигма тпри текучести и b=сигма е.сж./сигма е при разрушении,а и b определяются по кругам мора. Условие прочности по теории Мора имеет следующий вид:

Сигма пр меньше или равно сигма допустимое! Теория прочности Мора является наиболее полной, точной из наиболее известных теорий прочности в сопротивлении материалов. Все её положения были проверены экспериментально. Она подходит как для проверки прочности хрупких материалов (чугун, бетон, кирпич), так и для проверки на прочность пластичных материалов (низкоуглеродистая сталь). Её иногда называют V теорий прочности