Теоретические основы процессов тепломассопереноса в энерго- и ресурсосберегающих устройствах.

1. Теплопроводность

Общие положения.

Дифференциальное уравнение неустановившейся 3^х мерной теплопровод- ности.

(1.1.)

q_и – объёмная плотность внутренних источников тепла, (Вт /м³);

с - удельная массовая теплоёмкость, (Вт_*ч) / (кг_*К);

γ - плотность, (кг/м³);

λ - коэффициент теплопроводности, ( Вт / (м_*К) ).

Частный случай

Уравнение установившейся теплопроводности

при λ ≠ f(Т и координаты):

(1.2.)

Установившаяся одномерная теплопроводность тела с равномерно распределёнными источниками тепла

(1.3.)

Установившаяся одномерная теплопроводность тела с боковым теплоотводом в среду с температурой Т_окр.

Произведём формальную замену

сток тепла

;

;

;

(1.4.)

Тогда из (1.3.):

где ;U– смоченный периметр;- длина;- площадь поперечного сечения;- коэффициент теплоотдачи;- поверхностная плотность теплового потока.

Установившаяся одномерная теплопроводность тела без внутренних источников (или стоков) тепла и при отсутствии теплообмена с окружающей средой.

(1.5.)

Из (1.3.) следует:

отсюда следует:

(1.6.)

Поверхностная плотность теплового потокаq(Вт / м²) представленауравнением Фурье:

(1.7.)

,

Откуда, согласно (1.6.) q=const(т.е. плотность теплового потока не зависит от х ).

Одномерный установившийся тепловой поток Q_(Вт) =q_*F; тогда, согласно (1.7.)

(1.8.)

Q_(x) = -λ_(x)**F_(x) .

Это уравнение, в результате интегрирования, даёт выражения одномерных тепловых потоков в телах различной формы.

В случае двумерной теплопроводности,

при приq_и=0 и

из (1.1. ) получим

(1.9.)

-

- сравните с (1.5.).

В последующих разделах даны методы расчёта установившихся тепловых потоков для тел различной формы – на основе (1.8.).

Тепловой поток через плоскую стенку.

Интегрируем (1.8.) с учётом граничных условий:

х = 0, Т = Т₁; х = δ, Т = Т₂– см. рис. 1.2.

Т

Т₁

х

Т₁– Т₂- линия распределения температур

х

Т₂

0 δ

δ

Рис. 1.2.

Распределение температуры в плоской стенке

0 δ

Рис. 1.1.

При λ ≠ f(x) иF≠f(x) - плоская стенка;

имеем из (1.8.)

(1.10.)

-илиq=

(1.11.)

Для многослойной стенки

, Вт / м²

где : Т₁и Т₂- температуры внешних поверхностей стенки;

(1.12.)

к_ст =, Вт / (м²_*К) -

- коэффициент теплопередачи через массив стенки, состоящий из nслоёв; причём каждый слой имеет толщину δ_iи его материал имеет коэффициент теплопроводности λ_i

(1.11а.)

Если в месте контакта упомянутых слоёв имеются контактные сопротивления (например воздушные прослойки), а внешние границы стенки участвуют в теплообмене с объектами температуры Т_би Т_мс коэффициентами теплоотдачи α_б и α_м, то плотность теплового потока (аналогично (1.11.)):

q= к_{эф *} (Т_б – Т_м) ,

где к_эфвыразится следующим образом:

(1.13.)

к_эф =

к_эф– эффективный коэффициент теплопередачи;

- удельное термическое сопротивление контакта, м² / (К_*Вт);

α_б и α_м- коэффициенты теплоотдачи соответственно на сторонах с большей и меньшей температурами (Т_би Т_м) .

Тепловой поток через цилиндрическую стенку.

R₁

R₂

R

Т_м

Т_м

Т₂

Т

Т₁

Т

Т₂

Т₁

Т_б

Рис. 1.3.

Расчётная схема теплопроводности сферической стенки

х=R-R₁

х=0 х=R₂-R₁

В качестве расчётной схемы для поперечного сечения круглого цилиндра можно использовать рис. 1.3.

В уравнении (1.8.) поверхность, зависящая от радиуса

, где - длина цилиндра.

В случае соизмеримости Lи 2_*R₂расчётная схема одномерной теплопроводности приемлема при хорошей изоляции торцев: исключено влияние осевого теплового потока.

При интегрировании (1.8.) :

(1.14.)

.

Из (1.8.), с учётом (1.14), следует, при замене λ_(x)= λ_(т):

(1.15.)

,

где

- среднеинтегральное значение коэффициента теплопроводности

Окончательно:

(1.16.)

,

где: и- соответственно площади большей и меньшей поверхностей;

При из (1.16.) также следует:

,

T,R- текущие .

Отсюда следует распределение температур по радиусу, при λ≠f(Т) :

(1.17.)

Представим (1.16.) как

(1.17а.)

,

(1.18.)

где

- термическое сопротивление массива стенки между цилиндрами

Учитывая теплообмен на внутренней и внешней поверхностях цилиндров, имеем:

,

где: ,

тогда или:

(1.19.)

Анализ выражения (1.19. ) приводит к зависимости теплопотерьQот толщины δ изоляции – см. рис 1.4, при λ ≠f(T); т.е.=const.

Q

Q_max

Рис. 1.4.

Влияние толщины цилиндрической изоляции на тепловой поток.

Bi < 1

Bi = 1

Bi > 1

φ

φ_кр φ_пред

0

При нулевой толщине изоляции δ → 0:

; ;;

При - предельная относительная толщина изоляции: надо иметь.

Формула (1.19) для многослойной цилиндрической системы преобразуется:

.

Для определения среднеинтегральной для каждого слоя из формулы

требуется использовать функцию .

После этого находим температуры на границах слоев. Метод расчета – на примере двуслойной цилиндрической изоляции – см. схему

r₃

r₂

λ₁

λ₂

r₁

T₁

T_Б

T₁

T₂

T₂

T₃

T_М

T₃

T_М

Используем линейные зависимости:

; .

Получим

;

.

Для определения неизвестных T₁,T₂,T₃составим систему 3-х уравнеий:

Отсюда:находим 3 неизвестные:T₁,T₂.T₃.

После этого находим Q_цпо формуле (1.20).

Теплопроводность сферы.

Интегрирование (1.8) с учётом , дает выражение теплового потока для однослойной системы:

(1.21)

.

Но

,

,

: толщина слоя.

тогда:

(1.21 а)

.

Используя величины ибольшей и меньшей площадей формулу (1.19) для цилиндра можно записать как:

(1.19 а)

.

Соответственно для многослойных систем:

(1.21 б)

В соответствии с (1.20):

(1.20 б)

Выражения (1.21 а), (1.21 б) можно использовать в расчёте одномерных тепловых потоков в усечённых телах призматической и конической форм (при отсутствии теплообмена на боковых поверхностях).

Q

Q

Изотермы

F_М

F_Б