41. Метод непосредственного интегрирования. Метод подведения под знак дифференциала.

Интегрирование по частям. Пользуются следующей формулой. 3. Интегрирование дробно-рациональных функций.  - разложить дробь на простейшие Интегрирование по частям. Пользуются следующей формулой. 3. Интегрирование дробно-рациональных функций.  - разложить дробь на простейшие  - выделить полный квадрат.  - создать в числителе дифференциал знаменателя. 4. Интегрирование дробно-иррациональных функций.  - выделить под корнем полный квадрат  - создать в числителе дифференциал подкоренного выважения. 5. Интегрирование тригонометрических функций.  При интегрировании выражений вида применяет формулы разложения для произведения. Для выражений  m-нечетное, n –любое, создаем d(cosx). Используем тождество sin²+cos²=1 m,n – четные, sin²x=(1-cos2x)/2 и cos²x=(1+cos2x)/2 Для выражений вида:  - Применяем свойство tg²x=1/cos²x – 1

42. Интегрирование заменой переменной в неопределенном интеграле.  формула замены переменной в неопределенном интеграле.

Замена переменной.

43. Интегрирование по частям в неопределенном интеграле.  Пусть u(x) и v(x) - функции, имеющие непрерывные частные производные. Тогда по формуле дифференцирования произведения d(uv) = u∙dv + v∙du  . Находим неопределённые интегралы для обеих частей этого равенства (при этом  ):  . Эта формула и называется формулой интегрирования по частям. Часто ее записывают в производных (dv =  v’∙dx , du =  u’∙dx):

.

 Примеры: .  .

44. Простейшие рациональные дроби и их интегрирование. Интегрирование простейших рациональных дробей

Целой рациональной функцией аргумента х называется многочлен, в котором переменная х только в целых степенях (в том числе х⁰=1).  a_nxⁿ + a_n-1x^n-1 + ... + a₂x² + a₁x + a₀

Дробной рациональной функцией аргумента х называется отношение целых рациональных функций. Причем если степень числителя меньше степени знаменателя, дробь называется правильной. В противном случае - неправильной. Алгоритм:

1. Если дробь неправильная - выделить целую часть. Получим интеграл от целой части (интегрируется непосредственно) и интеграл от правильной дроби;

2. Если числитель равен дифференциалу знаменателя (или отличается от него постоянным множителем), то использовать замену переменной z=знаменатель;

3. Если числитель равен дифференциалу некого многочлена (или отличается от него постоянным множителем), а знаменатель равен степени того же многочлена, то использовать замену переменной z=знаменатель;

4. В остальных случаях нужно разложить дробь на сумму простейших

5. Простейшие дроби интегрируются в зависимости от их вида следующими способами:

вид	условие	метод
	при n>1
	при n=1
только при 4q > p2, иначе она разлагается на простейшие первого вида	при n=1	подстановка x + 0,5p = z
	при n>1	сначала подстановка x + 0,5 p = z,  потом тригонометрическая подстановка z = a tgt