Теория пределов
Задача
1. Найти 
.
Решение. Так как пределы числителя и знаменателя существуют и предел знаменателя не равен нулю, то можно применить теорему о пределе дроби:
.
Задача
2. Найти 
.
Решение. Имеем неопределенность вида 
.
Для раскрытия этой неопределенности
преобразуем дробь, разложив числитель
и знаменатель на множители. Для
значения 
имеем
тождество
.
Поэтому пределы этих функций равны между собой:
.
Задача
3. Найти 
.
Решение. Непосредственная
подстановка 
приводит
к неопределенности вида
.
Для того чтобы раскрыть эту неопределенность,
выделим множитель 
в
числителе и в знаменателе. Для этого
умножим числитель и знаменатель дроби
на выражения, сопряженные, соответственно,
числителю и знаменателю:
.
Тогда
.
Задача
4. Найти 
.
Решение. Здесь
также непосредственно теорему о пределе
дроби применить нельзя, так как числитель
и знаменатель дроби при 
не
имеют конечных пределов.
Это неопределенность вида 
.
Для раскрытия ее разделим числитель и
знаменатель на х в
высшей степени, т.е. на 
, и затем
перейдем к пределу.
.
Здесь 
- бесконечно
малые функции при 
,
и поэтому их
пределы равны нулю.
Задача
5. Найти 
.
Решение. Имеем неопределенность вида . Воспользуемся первым замечательным пределом.
.
Можно привести другое решение.
Пусть 
,
тогда 
при 
.
Тогда
.
Задача
6. Найти 
.
Решение. Здесь
имеем неопределенность вида 
.
Для раскрытия этой неопределенности
преобразуем функцию так, чтобы можно
было воспользоваться вторым
замечательным пределом.
.
Введем
новую переменную. Пусть 
,
тогда 
,
при
, 
.
Следовательно:
.
Дифференциальное исчисление
Задача
1. Найти
производную функции 
.
Решение. Преобразуем
функцию: 
.
Тогда
.
Задача
2. Найти
производную функции 
.
Решение. Находим производную сложной функции:
.
Задача
3. Найти
производную функции 
.
Решение. Целесообразно сначала прологарифмировать функцию:
.
Найдем производную от обеих частей последнего равенства:
.
Отсюда
.
Задача
4. С
помощью дифференциала найти
приближенное значение выражения 
с
точностью до 0,001.
Решение. Используем формулу
, где
Тогда
.
Задача
5. Исследовать
средствами дифференциального исчисления
функцию 
и
построить ее график.
Решение. 1. y=f(x).
1) Функция определена при всех значениях х, кроме х=2, т.е.
2) Четность. 
.
Функция не является ни четной, ни
нечетной.
3) Функция не периодическая.
4) Найдем точки пересечения графика с осями координат.
Очевидно, если х=0, то у=0, и если у=0, то х=0. Следовательно, график функции проходит через начало координат.
5) Функция непрерывна в области своего определения.
Поскольку 
и 
,
то точка х=2 является
точкой разрыва второго рода. Исследуем
поведение функции на бесконечности.
.
6) Найдем асимптоты графика
функции. Известно, что если 
,
то прямая 
является
вертикальной асимптотой графика функции.
Если 
и 
,
то прямая 
является
наклонной асимптотой графика функции 
.
Поскольку
и
,
то прямая х=2
является вертикальной асимптотой
графика функции.
Найдем
; т.е. k=1.
, т.е. 
.
Следовательно,
прямая 
является
наклонной асимптотой графика функции.
2. 
.
Найдем
промежутки монотонности функции и
точки экстремума.
Для этого определим 
.
Производная обращается в ноль при х=0
и 4, а при х=2
не существует.
+ - - +
0 2 4 X
При 
,
следовательно, на этом интервале функция
возрастает.
При 
функция
на этом интервале убывает.
Следовательно, х=0 является
точкой максимума.
.
При 
-
убывает.
При 
-
возрастает.
Следовательно, при х=4 функция имеет минимум:
.
3. 
.
Определим промежутки выпуклости и вогнутости графика функции. Для этого найдем вторую производную:
.
Вторая
производная 
на
области определения и не существует
при х=2.
Исследуем знак второй производной.
- +
2 X
При 
,
следовательно, в этом
интервале график функции выпуклый.
При 
график
функции вогнутый. Точек
перегиба график
функции не
имеет.
4. График:
Y
8
2
-2 0 2 4
X