Вопрос 10 Квантово-механическая частица в потенциальной яме с конечными стенками. Рис. 14.1

В области II уравнение Шредингера записывается в виде .

Решение этого уравнения имеет вид ,

где . При этом в области II  0. Граничному условию для области II удовлетворяет решение . (14.1)

В области I уравнение Шредингера записывается в виде ,

а решения этого уравнения имеют вид

● при нечетных значениях n ; (14.2)

● при четных значениях n , (14.3)

где ².

На рис. 14.2 показаны уровни энергии, а на рис. 14.3 – волновые функции, соответствующие первым трем энергетическим уровням для ямы конечной глубины (сплошные линии) и в бесконечно глубокой потенциальной яме (штриховые линии).

В

Рис. 14.2 Рис. 14.3

заключение заметим, что общее решение задачи о частице, находящейся в прямоугольной яме конечной глубины, встречается при рассмотрении многих задач атомной физики, например, эмиссии электронов из металлов, радиоактивного распада и т. д.

Вопрос 11: Низкий и высокий потенциальные барьеры бесконечной ширины

П отенциальный барьер бесконечной ширины.

Общее решение: , где 

Рассматривается условия перехода частицы из области I в область II в двух случаях:

1)E>U0, полная энергия частицы больше высоты потенциального барьера.

2)E<U0

При E>U0 классическая частица обязательно перейдет из области I в область II и будет двигаться в ней с кинетической энергией E-U0.

Квантовая частица на границе частично отразится, частично перейдет в область в область II как свет. Вероятность отражения характеризуется коэффициентом отражения

 - падающая волна; - отраженная волна.

- вероятность отражения на границе x=0.

В области I кинетическая энергия электрона Е и  

Если E>U- потенциальный барьер называется низким, E<U- высоким.

В области II кинетическая энергия электрона равна (E-U)

Картина квантовых событий в микромире, рисуемая уравнением Шрёдингера, такова, что частицы уподобляются отдельным приливным волнам, распространяющимся по поверхности океана-пространства. Со временем гребень волны (соответствующий пику вероятности нахождения частицы, например электрона, в пространстве) перемещается в пространстве в соответствии с волновой функцией, являющейся решением этого дифференциального уравнения.

Вопрос 12 Туннельный эффект.

Пусть частица, движущаяся слева направо, встречает на своем пути потенциальный барьер высотой и шириной l (рис. 16.1).

П

Рис. 16.1

о классическим представлениям, поведение частицы имеет следующий характер. Если энергия частицы больше высоты барьера ( ), то частица беспрепятственно проходит над барьером и на участке 0  х  l лишь уменьшается скорость частицы. Затем при х  l скорость принимает первоначальное значение. Если же , то частица отражается от барьера и летит в обратную сторону; сквозь барьер частица проникнуть не может.

Совершенно иначе выглядит поведение частицы согласно квантово-механическому описанию. Даже при имеется отличная от нуля вероятность того, что частица проникнет «сквозь» барьер и окажется в области х  l. Такое, совершенно невозможное с классической точки зрения, поведение микрочастицы вытекает непосредственно из уравнения Шредингера.

Рассмотрим случай . Для областей I и III (U = 0) уравнение Шредингера имеет вид

. (16.1)

Для области II ( и ) уравнение имеет вид

. (16.2)

Общее решение уравнения (16.1) имеет следующий вид:

● для области I: ;

● для области III: .

, где .

Количественно эффект туннелирования можно оценить, вычислив плотность вероятности обнаружения частицы в каждой из областей пространства. Оценим степень прозрачности потенциального барьера.

В случае пренебрежения отраженными волнами на границах I – II и II – III, отношение квадратов модулей амплитуд отраженной и падающей волн определяет вероятность отражения частицы от потенциального барьера и может быть названо коэффициентом отражения:

.

Отношение квадратов модулей амплитуд прошедшей и падающей волн определяет вероятность прохождения частицы через барьер и может быть названо коэффициентом прохождения (или коэффициентом прозрачности): .

Коэффициенты отражения и прозрачности связаны соотношением .

Из полученного выражения следует, что вероятность прохождения частицы через потенциальный барьер зависит от ширины барьера l и от разности энергий ( ).

Если при какой-либо ширине барьера коэффициент прохождения D равен 0,01, то при увеличении ширины в два раза D станет равным 0,01² = 0,0001, т. е. уменьшится в 100 раз. Тот же эффект вызвало бы возрастание в четыре раза значения ( ). Коэффициент прохождения резко уменьшается при увеличении массы частицы m.

П

ри преодолении потенциального барьера частица как бы проходит через «туннель» в этом барьере, в связи с чем рассмотренное нами явление называют туннельным эффектом. На основе этого эффекта построены многие современные приборы, например туннельные диоды и транзисторы.

Рассмотрим случай, когда (рис. 16.4). Для области I уравнение Шредингера имеет вид

, (16.5)

для области II . (16.6)

Общие решения уравнений (16.5) и (16.6) имеют следующий вид:

● для области I ;

● для области II ,

где и .

Рис. 16.5

Используя стандартные условия (16.7), можно показать, что коэффициент отражения и коэффициент прохождения для низкого ( ) потенциального барьера бесконечной ширины имеют вид

.