Вопрос 8. Уравнение Шредингера. Решение для свободной частицы.

Уравнение Шредингера является основным уравнением нерелятивистской квантовой механики. Оно не может быть выведено из других уравнений.

В результате получим

. (12.3)

Уравнение (12.3) называется уравнением Шредингера для стационарных состояний.Уравнение (12.3) часто записывают в виде

.

Если рассматривать функцию U в уравнении (12.3) как оператор, действие которого на -функцию сводится к умножению на U, то уравнение (12.3) можно записать так:

. (12.4)

В этом уравнении символом обозначен оператор, равный сумме операторов и U:

Оператор оператором Гамильтона. Гамильтониан является оператором энергии Е.

Физический смысл -функции: квадрат модуля -функции определяет вероятность dP того, что частица будет обнаружена в пределах объема dV: , (12.5)

Тогда вероятность обнаружения частицы в объеме V : .

Интеграл от выражения (12.5), взятый по всему пространству от до , равняется единице:

Действительно, этот интеграл дает вероятность того, что частица находится в одной из точек пространства, т. е. вероятность достоверного события, которая равна 1.

(12.6)

Условие (12.6) называется условием нормировки. Функции, удовлетворяющие этому условию, называются нормированными.

т. е. плотность вероятности волновой функции равна плотности вероятности координатной части волновой функции и от времени не зависит.

Свойства -функции: она должна быть однозначной, непрерывной и конечной (за исключением, быть может, особых точек) и иметь непрерывную и конечную производную. Совокупность перечисленных требований носит название стандартных условий.

В уравнение Шредингера в качестве параметра входит полная энергия частицы Е. В теории дифференциальных уравнений доказывается, что уравнения вида имеют решения, удовлетворяющие стандартным условиям, не при любых, а лишь при некоторых определенных значениях параметра (т. е. энергии Е). Эти значения называются собственными значениями. Решения, соответствующие собственным значениям, называются собственными функциями.

Вопрос 9: Потенциальная яма с бесконечно высокими стенками

Н айдем собственные значения энергии и соответствующие им собственные волновые функции для частицы, находящейся в бесконечно глубокой одномерной потенциальной яме ( рис. 13.1, а). Предположим, что частица может двигаться только вдоль оси х. Пусть движение ограничено непроницаемыми для частицы

Рис. 13.1

стенками: х = 0 и х = l. Потенциальная энергия U = 0 внутри ямы (при 0  х  l) и вне ямы (при х  0 и х  l).

За пределы потенциальной ямы частица попасть не может. Поэтому вероятность обнаружения частицы вне ямы равна нулю. Следовательно, и функция  за пределами ямы равна нулю. Из условия непрерывности следует, что  должна быть равна нулю и на границах ямы, т. е.

. (13.2)

Этому условию должны удовлетворять решения уравнения (13.1).

В области II (0  х  l), где U = 0 уравнение (13.1) имеет вид.

Используя обозначение , придем к известному из теории колебаний волновому уравнению .

Решение такого уравнения имеет вид . (13.3)

Условию (13.2) можно удовлетворить соответствующим выбором постоянных k и . Из равенства получаем   = 0.

Далее из равенства получаем . Это условие выполняется при (n = 1, 2, 3, ...), (13.4)

n = 0 исключено, поскольку при этом  0, т. е. вероятность обнаружения частицы в яме равна нулю. Из (13.4) получаем (n = 1, 2, 3, ...), следовательно,

(n = 1, 2, 3, ...).

Таким образом получаем, что энергия частицы в потенциальной яме может принимать только дискретные значения. На рис.13.1, б изображена схема энергетических уровней частицы в потенциальной яме. На этом примере реализуется общее правило квантовой механики: если частица локализована в ограниченной области пространства, то спектр значений энергии частицы дискретен, при отсутствии локализации спектр энергии непрерывен.

Окончательно собственные волновые функции имеют вид

(n = 1, 2, 3, ...).

Графики собственных значений функций при различных n изображены на рис. 13.2. На этом же рисунке показана плотность вероятности ^ обнаружения частицы на различных расстояниях от стенок ямы.

Г рафики показывают, что в состоянии с n = 2 частица не может быть обнаружена в середине ямы и вместе с тем одинаково часто бывает как в левой, так и в правой половине ямы. Такое поведение частицы, несовместимо с представлением о траектории. Отметим, что, согласно классическим представлениям, все положения частицы в яме равновероятны.

Рис. 13.2