Основные понятия и формулы

Р ассмотрим некоторые основные геометрические характеристики поперечных сечений. Пусть дано произвольное поперечное сечение бруса в системе координат . Выделим элементарную площадку с координатами и . Введем следующие соотношения и определения:

1. Площадь плоской фигуры можно представить в виде суммы площадок . Это записывается в виде:

, [см²]

2. Статические моменты относительно осей и определяются как суммы произведений плеча площадки на

величину :

, , [см³]

3. На основании известной из теоретической механики теоремы о моменте равнодействующей статические моменты могут быть вычислены по более простым формулам . Отсюда вытекает, что центр тяжести плоской фигуры определяется как:

, , [см]

4. Осевыми , и центробежным моментами инерции фигуры называются геометрические характеристики численно равные интегралам:

[см⁴]

5. Полярный момент инерции фигуры вводится соотношением:

, [см⁴]

6. В некоторых расчетах вводятся радиусы инерции плоской фигуры. Относительно осей и они имеют вид:

, [см]

Замечание: Статические и центробежный моменты в зависимости от выбора системы координат могут быть положительными, отрицательными и равными нулю. Осевые и полярные моменты инерции всегда положительны (это видно из их определений).

Изменение геметрических характеристик при преобразовании прямоугольных координат

1. Связь моментов относительно параллельных осей

(параллельный перенос осей координат)

П усть известны все геометрические характеристики сечения относительно осей и , которые параллельны осям и (рис.2).

Координаты элементарной площадки в системе координат примут вид:

,

Статические моменты сечения относительно системы координат имеют вид:

(1)

Оси, проходящие через центр тяжести сечения, называются центральными осями. Относительно центральной оси статический момент равен нулю.

Таким образом, если оси и - центральные, то , из формулы (1) следует:

Моменты инерции относительно системы координат определяются как:

(2)

Если оси и - центральные (рис.3), то , и соотношение (2) упрощается:

(3)

Если наоборот, необходимо найти то из (3) вытекает:

(4)

б) Поворот осей координат

Повернем оси на угол против часовой стрелки, считая угол поворота осей в этом направлении положительным. Получим оси .

Координаты произвольной элементарной площадки и выразятся через старые координаты и следующим образом:

Статические моменты в новых осях примут вид:

Моменты инерции относительно осей и повернутых относительно первоначальных , на угол примут вид:

(5)

Следствие: Из (5) вытекает, что сумма моментов инерции относительно любых взаимно перпендикулярных осей и не меняется при их повороте:

(6)

Оси, относительно которых центробежный момент инерции обращается в нуль, называются главными осями инерции. Относительно этих осей осевые моменты инерции принимают экстремальные значения и называются главными моментами инерции и обозначаются и .

Действительно, если, например, взять первую производную от , то из условия вытекает, что . Таким образом это означает, что будет принимать экстремальное значение относительно главной оси . Аналогично, момент инерции будет принимать экстремальное значение относительно главной оси .

Таким образом, если оси - главные оси инерции, то главные моменты инерции можно определить из первых двух соотношений (5), а последнее соотношение в (5) для центробежного момента должно обращаться в нуль ( ).

Замечание: Главные моменты инерции можно определить и по следующим выражениям:

(7)

Главные оси инерции, проходящие через центр тяжести сечения, называются главными центральными осями.

Таким образом, согласно третьему соотношению (5) угол между главной осью и осью определится как:

(8)

Угол считается положительным, если он отложен против хода часовой стрелки от оси .