§2.12. Закон архимеда

З акон Архимеда, открытый им за 250 лет до н.э., характеризует плавучесть тела, погруженного в жидкость. Для теоретического вывода закона Архимеда рассмотрим давление жидкости на тело, погруженное в нее. Допустим, что в жидкость погружено тело сферической формы. Выберем координатные оси так, как показано на рис. 2.13.

Рис 2.13

Покажем силы, действующие на тело со стороны жидкости. Очевидно, что силы Р^'_x и P^"_x, а также P^'_y и P^"_y равны по величине и противоположны по направлению. Поэтому они исключаются из дальнейшего анализа. Проведем контурные линии АА^' и ВВ^", а также разделим тело на две части плоскостью АВ. На верхнюю часть поверхности, жидкость воздействует с силой P^'_z, а на нижнюю – P^"_z. Результирующая сила равна: . Найдем силы P^'_z и P^"_z, воспользовавшись уравнением (2.52):

; .

Отсюда, или

. (2.54)

Формула (2.54) выражает закон Архимеда, согласно которому сила, с которой жидкость воздействует на погруженное в нее тело, равно весу жидкости в объеме погруженного тела.

§2.13. Плавучесть тела. Остойчивость плаваюшего

СУДНА

Плавучесть тела определяется условиями его равновесия на свободной поверхности. Если вес погруженного в жидкость тела G меньше архимедовой силы, т.е. меньше силы давления жидкости на него, или Р_арх = ρgW>G, тело всплывает, где W – объем тела.

Если Р_арх < G, тело тонет. При Р_арх = G тело не тонет и не всплывает, находясь в состоянии покоя в любой точке водного пространства. Следовательно, когда Р_арх>G, тело плавает, при этом архимедова сила, равная весу жидкости в объеме погруженной в нее части тела, равна весу тела, или G = ξρgW, где ξ – коэффициент, определяющий часть тела, погруженную в жидкость (ξ<1). Вес жидкости в объеме погруженной в нее части тела, называется водоизмещением ( или архимедовой силой ). Соответственно с этим центр давления при плавании называют центром водоизмещения или точкой приложения архимедовой силы. Центр давления при качке судна меняет свое положение, т.к. в этом случае одна часть судна погружается в воду, а противоположная, наоборот, выходит из воды, как бы обсыхает: это меняет форму подводной части и, следовательно, положение центра давления. Водоизмещение определяет максимальную величину погружения судна в воду и его грузоподъемность.

Л инию ВВ пересечения свободной поверхности водоема с боковой поверхностью судна при его максимальной нагрузке называют ватерлинией, а плоскость в пределах судна, ограниченную ватерлинией, – плоскостью плавания (рис.2.14).

Рис 2.14

В ертикальная ось симметрии ОО (рис.2.14), нормальная к плоскости плавания ВВ и обязательно проходящая через центр тяжести С плавающего тела или судна, носит наименование оси плавания. Центр тяжести сухогрузного судна (не наливного) не меняет своего положения при качке. У наливных судов, имеющих свободную поверхность залитой жидкости, центр тяжести при качке перемещается.

Плавающее тело при качке может наклоняться в одну или другую сторону, т.е. давать крен. Способность судна выходить из крена в первоначальное положение называют остойчивостью судна.

Рис 2.15

Плавающее тело или судно имеет на оси плавания ОО три характерные точки (рис.2.15): центр тяжести С, центр давления D (эти точки должны лежать на оси плавания для того, чтобы судно не опрокидывалось) и метацентр М. Метацентром называют точку пересечения оси плавания с линией действия архимедовой силы при крене плавающего тела или судна.

К ак было указано, центр давления при крене судна перемещается, поэтому и положение метацентра не может оставаться постоянным. Однако, при небольших кренах судна, не превышающих α=15⁰, положение метацентра почти не меняется, и его принимают за неизменяемую точку. В этом случае центр давления или водоизмещения D должен перемещаться по дуге (с углом α≤15⁰) окружности, описанной из метацентра М радиусом r_м, который называется метацентрическим радиусом (рис.2.16).

Рис 2.16

Остойчивость судна зависит от относительного положения точек D, C и М: остойчивое положение показано на рис. 2.17, а неостойчивое – на рис. 2.18. Отсутствие остойчивости во втором случае определяется наличием пары сил G и Р_арх, увеличивающей крен судна, а остойчивость в первом зависит от наличия той же пары сил G и Р_арх, противодействующей крену.

Р ис 2.17 Рис 2.18

Различное влияние этих пар сил на остойчивость плавающих тел зависит от взаимного положения центра тяжести и метацентров: при расположении метацентра выше центра тяжести судно остойчиво, при расположении метацентра ниже центра тяжести судно неостойчиво. Это также можно охарактеризовать соотношением r_м≤ ≥ е (где е – расстояние между центрами тяжести и давления): при r_м>е – судно остойчиво, а при r_м<е – судно неостойчиво.

Величина m, выражающая превышение метацентра над центром тяжести ( ), называется метацентрической высотой. Для остойчивости судна или тела надо иметь положительное значение метацентрической высоты (m>0), при отсутствии остойчивости (m<0). Большая остойчивость судна получается при большой метацентрической высоте, т.к. момент пары сил, направленный против крена, в этом случае возрастает.

Особенности остойчивости наливных судов.

У наливных судов или барж, а также у плавучих доков, имеющих жидкий груз, при крене меняется положение центра тяжести, т.к. последний из-за изменения формы объема, заполняемого жидкостью, перемещается с оси плавания в новое положение. Поэтому условия остойчивости наливного судна несколько отличаются от изложенных выше. Перемещение центра тяжести при крене наливного судна в новое положение уменьшает восстанавливающий момент пары сил вследствие уменьшения расстояния между этими силами, т.е. наличие жидкого груза всегда уменьшает остойчивость судна. Поэтому при проектировании наливных судов необходимо располагать их центр тяжести как можно ниже и получать как можно больший момент инерции плоскости плавания.

Вопросы для самопроверки

1. На какие группы делятся силы, действующие в жидкости?

2. Какие вопросы изучает раздел гидростатика? Что такое идеальная жидкость?

3. Что такое гидростатическое давление в точке? Его свойства? Единицы измерения давления?

4. В учетом каких сил выводится основное уравнение гидростатики? Закон Паскаля?

5. Какое давление называется манометрическим? Какое давление называется вакуумным? Что такое пьезометрическая и вакуумметрическая высоты?

6. Как выражается сила полного гидростатического давления на плоскую фигуру? Как выражается сила избыточного гидростатического давления на плоскую фигуру?

7. Что называется центром давления? Где он расположен?

8. В виде какой фигуры изображается эпюра избыточного гидростатического давления?

9. Что называется поверхность равного давления? Ее свойства?

10. Какое состояние жидкости называется относительным равновесием? Запишите уравнение свободной поверхности жидкости при вращении?

11. Каков принцип решения задач по определению силы давления жидкости на криволинейные поверхности?

12. Какова формулировка закона Архимеда? Что называется архимедовой силой (водоизмещением)? Какая характеристика определяет грузоподъемность судна?

13. Что называется остойчивостью судна? От каких характерных точек, расположенных на оси плавания зависит остойчивость судна? Что называется метацентром?

14. Что называется метацентрической высотой? Какие особенности остойчивости наливных судов?

ГИДРОДИНАМИКА