§2.7. Эпюры гидростатического давления

Г рафическое изображение изменения давления называется эпюрой давления. Построение эпюры давления необходимо выполнять с учетом свойств давления и закона его изменения. Так как основное уравнение гидростатики является уравнением прямой линии, то для построения эпюры давления на плоскую поверхность необходимо определить величину давления в двух точках по ее высоте (например, вверху и внизу стенки), а затем отложить величину в виде отрезков определенного масштаба в тех местах, где оно найдено, расположив по внутренней нормали к поверхности, и соединив концы отрезков прямой линии. Изобразим на рис.2.9 эпюры давлений на вертикальную стенку согласно вышеизложенному. Эпюра избыточного гидростатического давления изобразится в виде треугольника, а эпюра полного гидростатического – в виде трапеции. Эпюры давлений на плоские наклонные стенки строятся аналогичным путем и имеют тот же принципиальный вид, что и на рис.2.9 Рис 2.9

§2.8. Гидростатический парадокс

П редположим, что имеется три сосуда А, Б и В различной формы с плоскими днищами (рис.2.10).

Рис 2.10

Пусть площади днищ, а также уровни жидкости в сосудах одинаковы. Найдем, согласно уравнению (2.26), силу давления на дно сосудов: .

Получили, что сила давления на днище сосудов не зависит от его формы, а зависит только от площади днища и высоты жидкости в сосуде. Это положение называется гидростатическим парадоксам. Считалось в определенной мере парадоксальным равенство сил давления на дно, например, в сосудах Б и В, в которых помещается неодинаковое количество жидкости.

§2.9. Поверхность уровня и ее свойства

Поверхностью уровня называется поверхность, все точки которой имеют одно и тоже значение рассматриваемой функции. В гидравлике особо важное значение имеет поверхность равного давления. Во всех точках такой поверхности уровня гидростатическое давление одинаково, т.е. р = const и dр = 0, поэтому из уравнения (2.13) следует

,

т.к. плотность жидкости ρ≠0, то

. (2.31)

Формула (2.31) называется уравнением поверхности равного давления.

Поверхность равного давления обладает двумя свойствами.

1. Две поверхности равного давления не пересекаются между собой.

Допустим, что поверхность равного давления р₁ пересекается с поверхностью равного давления р₂. Тогда в точках линии пересечения этих поверхностей давление было бы одновременно равным и р₁ и р₂, что невозможно, т.к. р₁≠ р₂. Следовательно, поверхности равного давления не пересекаются.

2. Внешние объемные силы направлены нормально к поверхности уровня.

Докажем это свойство. По второму закону Ньютона, элементарная работа сил, действующих в жидкости, равна:

.

Согласно формуле (2.31), имеем dA = 0. С другой стороны, из механики твердого тела известно, что

,

где α – угол между вектором силы и направлением движения;

F – сила, действующая на единицу объема жидкости;

dl – элементарный путь.

Так как F≠0, dl≠0, dA=0, то получаем или . Если жидкость находится только в поле сил земного тяготения, то ускорения X, Y, Z вдоль координатных осей равны: X = 0, Y = 0, Z = –g. После подстановки этих значений в уравнение (2.31) имеем

или . (2.32)

Интегрируя выражения (2.32) получаем

или . (2.33)

Уравнения (2.33) представляют собой семейство горизонтальных плоскостей. Следовательно, поверхностью равного давления в поле сил тяжести является горизонтальная плоскость.