Глава 10
ГИДРОДИНАМИЧЕСКОЕ ПОДОБИЕ
При изучении движения реальных жидкостей встречается много трудностей потому, что на характер движения и происходящие при этом процессы влияют многие факторы. Важным этапом этого изучения является отбор тех факторов, которые являются определяющими для изучаемого процесса.
Следующий этап изучения – это установление зависимости интересующей величины от системы выбранных определяющих факторов. Этот этап может выполняться двумя путями: аналитическим, основанным на законах механики и физики, и экспериментальным. Первый путь применим лишь для ограниченного числа задач и при том обычно лишь для упрощенных моделей и явлений.
Другой путь, экспериментальный, в принципе может учесть многие факторы, но он требует научно обоснованной постановки опытов, планирования эксперимента, ограничения его объема необходимым минимумом и систематизация результатов опытов. При этом должно быть обосновано моделирование явлений.
Эти задачи позволяют решать так называемая теория гидродинамического подобия, т.е. подобия потоков несжимаемой жидкости.
Подобными называются такие потоки жидкости, у которых каждая характеризующая их физическая величина находится для любых сходственных точек в одинаковом отношении.
Понятие
гидродинамического подобия включает
подобие поверхностей, ограничивающих
потоки (геометрическое
подобие);
пропорциональность скоростей в
сходственных и подобие траекторий
движения сходственных частиц жидкости
(кинематическое
подобие);
пропорциональность сил, действующих
на сходственные частицы жидкости и
пропорциональность масс этих частиц
(динамическое
подобие).
Отношения однородных физических величин,
постоянных во всех сходственных точках
подобных потоков, называются коэффициентами
(масштабами) подобия.
Соответственно принятым в Международной
системе единиц основным физическим
величинам (длина L,
время Т
и масса М)
выделяют три основные коэффициента
подобия: линейный
масштаб
(
),
масштаб
времени
(
)
и масштаб
масс (
).
Масштабы всех остальных (произвольных)
физических величин выражаются через
основные в соответствии с формулами
размерности этих величин. Так, масштаб
скоростей
(
),
масштаб
сил одинаковой физической природы
(
),
масштаб
плотностей (
)
и т.д. Используя выражения масштабов kυ
и kρ,
можно получить для масштаба
сил
следующую зависимость:
. (10.1)
Зависимость (10.1) дает обобщенный закон динамического подобия Ньютона. Закон можно представить в виде:
. (10.2)
В свою очередь зависимость (10.2) можно записать в виде:
, (10.3)
где Ne – число Ньютона, безразмерная величина.
Согласно зависимости (10.3) следует, что число Ньютона, пропорциональное отношению действующих на подобные частицы сил к силам инерции этих частиц, имеет одинаковое значение в сходственных точках подобных потоков.
Для рассматриваемого ниже установившегося движения однородных несжимаемых жидкостей необходимыми и достаточными условиями гидродинамического подобия являются:
1. геометрическое подобие граничных поверхностей, омываемых потоками (включая в некоторых случаях и подобие шероховатостей стенок);
2. подобие кинематических краевых условий (подобное распределение скоростей во входных и выходных сечениях рассматриваемых объектов – каналов , местных сопротивлений и т.д.;
3. одинаковые значения критериев динамического подобия – безразмерных величин, пропорциональных отношениям сил инерции частиц жидкости к действующим на них силам вязкостного трения (число Рейнольдса Re) и силам тяжести (число Фруда Fr).
У
словием
пропорциональности сил инерции и сил
вязкостного трения является одинаковое
значение числа Re
для потоков в натуре и модели (рис. 10.1):
Рис 10.1
, (10.4)
где υ – характерная скорость (обычно средняя в сечении потока);
L – характерный размер (обычно диаметр сечения потока);
ν – кинематическая вязкость жидкости.
Условие (10.4) приводит к соотношениям для коэффициентов подобия:
(10.5)
и для скоростей в натуре и модели:
. (10.6)
Условием пропорциональности сил инерции и сил тяжести является одинаковое значение числа Fr для потоков в натуре и модели:
, (10.7)
где g – ускорение свободного падения.
Так как ускорение свободного падения g в натуре и модели практически всегда одинаково (масштаб ускорений kg=1), условие (10.7) приводит к соотношению для коэффициентов подобия:
(10.8)
и для скоростей в натуре и модели:
. (10.9)
Подобие потоков в натуре и модели требует одновременного выполнения условий (10.4) и (10.7) для чисел Re и Fr или условий (10.5) и (10.8) для коэффициентов подобия. Последнее, возможно только тогда, когда масштабы линейных размеров и вязкостей находятся в следующем соотношении:
. (10.10)
Из соотношения (10.10) следует, что для моделей, имеющих меньшие по сравнению с натурой размеры, должна применяться менее вязкая жидкость:
. (10.11)
При выполнении условий подобия все безразмерные характеристики потока, т.е. безразмерные комбинации различных физических величин (например, коэффициенты сопротивления ξ, скорости φ, расхода μ и т.д.), имеют в натуре и модели одинаковое численное значение.