§ 3.2. Уравнение постоянства расхода

Рассмотрим трубопровод переменного сечения. Будем исходить из того, что движение жидкости в трубопроводе установившееся и не существует объединения и разъединения потоков. Тогда, для данного случая движения жидкости будет соблюдаться условие:

,

где ρ – плотность жидкости, кг/м³;

υ – средняя скорость движения жидкости, м/с;

S – площадь сечения трубопровода, м².

Тогда, для рис. 3.3 имеем

.(3.2)

Рис 3.3

Выражение (3.2) называется уравнением постоянства расхода. Это уравнение показывает, что при установившемся движении, несмотря на изменение средних скоростей и площадей живых сечений по длине потока, расходы в нем одинаковы.

Для капельных жидкостей, при ρ=const , уравнением (3.2) имеет вид:

. (3.3)

Из уравнения (3.3) следует, что средние скорости капельной жидкости обратно пропорциональны площадям соответствующих поперечных живых сечений.

§ 3.3. Дифференциальные уравнения движения

Л. ЭЙЛЕРА

Выделим в движущейся жидкости элементарный параллелепипед, отбросив всю внешнюю область жидкости и заменив ее влияние на грани параллелепипеда силами гидростатического давления (рис. 3.4).

Р ис 3.4

Если к действующим силам выделенного движущегося параллелепипеда: гидростатическим давлениям и собственному весу – добавить (с обратным знаком) силы инерции, то можно рассматривать движущийся параллелепипед, как находящийся в покое. Силы гидростатического давления должны быть направлены по нормалям внутрь параллелепипеда, и каждая из этих сил равна произведению гидростатического давления в центре тяжести его грани на площадь этой грани. Обозначая гидростатическое давление на некоторых гранях параллелепипеда (точки А, В, С) через р и учитывая непрерывность изменения давления в жидкости, т.е. функциональную зависимость давления от координат точек, найдем, что давления на противоположных гранях параллелепипеда отличаются от давлений в точках А, В, С соответственно на: ; ; .

Из объемных сил, действующих на параллелепипед, имеется только сила его собственного веса, относящаяся к массовым силам. Обозначим равнодействующую веса параллелепипеда через G; направление ее действия примем таким, как показано на рис. 3.4; в этом случае ее составляющие по координатным осям будут выражаться положительными величинами.

Собственный вес параллелепипеда определится как произведение его массы на ускорение силы тяжести

, (3.4)

где dx, dy, dz – стороны параллелепипеда;

ρ – постоянная плотность жидкости;

g – ускорение массовой силы, в данном случае ускорение силы тяжести.

Обозначим проекции ускорения на оси х, у и z соответственно через Х, Y и Z, получим следующие выражения для проекций силы G на координатные оси:

(3.5)

Силы инерции следует определять тоже в виде произведений массы параллелепипеда на ускорение по соответствующим координатным осям. Если обозначить через υ полную скорость движения жидкости, а тем самым и параллелепипеда, а через υ_х, υ_у, υ_z составляющие ее по координатным осям, то компоненты ускорения по координатным осям могут быть выражены так:

Полные составляющие сил инерции по координатным осям будут равны:

После приложения сил инерции с обратным знаком, параллелепипед должен находиться в равновесии; поэтому сумма проекций на каждую ось x, y и z всех сил, действующих на рассматриваемый параллелепипед (сил гидростатического давления, равнодействующих массовой силы и силы инерции), должны быть равны нулю. Эти суммы могут быть представлены следующими выражениями:

(3.6) Раскрывая скобки и деля каждое из уравнений на массу параллелепипеда , т.е. приводя каждый член уравнения к единице массы жидкости, получим следующую систему уравнений:

(3.7)

Впервые эти дифференциальные уравнения были выведены Л. Эйлером (1755 г.), поэтому им присвоено наименование уравнений движения жидкости Л. Эйлера.