Раздел 2. Логическая теория высказываний

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА ЛОГИКИ ВЫСКАЗЫВАНИЙ

Высказывание - языковое выражение, о котором можно сказать только одно из двух: истинно оно или ложно.

Высказывания (как и соответствующие им схемы построения) делятся на простые и сложные. Сложное высказывание можно разбить на простые. Простое высказывание на более простые не расчленяется. При построении схем в качестве переменных для простых высказываний обычно используются строчные буквы латинского алфавита: p,q,r,s,…; для любых же (иногда нам безразлично, простое это высказывание или сложное) - прописные буквы этого алфавита: A,B,C,D, ...

Схема высказывания принимает логическое значение – «истинно» или «ложно».

Логическое значение сложной схемы высказывания в современной логике ставится в зависимость (является функцией) от логических значений простых схем.

ОПРЕДЕЛЕНИЯ ВАЖНЕЙШИХ СХЕМ ЛОГИКИ ВЫСКАЗЫВАНИЙ

Сложные высказывания и соответствующие им схемы образуются с помощью особых выражений, которые называются функторами (отрицание, конъюнкция, дизъюнкция (слабая и сильная), импликация, эквиваленция). Сложную схему принято называть именем функтора, с помощью которого оно образовано, т.е. если, например, схема образуется с помощью конъюнкции, то и сама она называется конъюнкцией.

Отрицанием A называется схема, обозначаемая выражением ØA (читается: «не-A», «неверно, что A»), которая принимает значение «истинно», если и только если A принимает значение «ложно». Данное определение можно выразить с помощью следующей таблицы (таблицы истинности), где «и» обозначает «истинно», а «л» – «ложно»:

Таблица 1

A	Ø A
и	л
л	и

Конъюнкция A и B - схема, обозначаемая выражением AÙB, которая принимает значение «истинно», если и только если значение «истинно» принимает как A, так и B (см. 3-й столбец табл. 2). Выражение A Ù B читается: «A и B».

Таблица 2

A	B	A Ù B	A Ú B	A Ú B	A ® B	A « B
и	и	и	и	л	и	и
л	и	л	и	и	и	л
и	л	л	и	и	л	л
л	л	л	л	л	и	и

Дизъюнкция слабая А и В - схема, обозначаемая выражением AÚB, которая принимает значение «истинно», если и только если значение «истинно» принимает хотя бы одно из A и B (см. 4-й столбец табл. 2). Выражение AÚB читается: «A или B».

Дизъюнкциия сильная А и В - схема, обозначаемая выражением AÚB, которая принимает значение «истинно», если и только если значение «истинно» принимает лишь одно из A и B (см. столбец 5-й табл. 2). Выражение AÚB читается: «либо A, либо B».

Импликация A и B - схема, обозначаемая выражением A®B, которая принимает значение «ложно», если и только если A принимает значение «истинно», а B – значение «ложно» (см. 6-й столбец табл. 2). Выражение A®B читается: «Если A, то B».

Эквиваленция A и B – схема, обозначаемая выражением A«B, которая принимает значение «истинно», если и только если логические значения A и B совпадают (см. 7-й столбец табл. 2). Выражение A«B читается: «A тогда и только тогда, когда B».

Алфавит логики высказываний включает символы:

1. p, q, r, s, … – символы, которые обозначают переменные для простых высказываний; A, B, C, D, … - символы, которые обозначают переменные для любых высказываний;

2. Ù, Ú, Ú, ®, «, Ø - символы для обозначения логических союзов;

3. (, ) – скобки как указатели совершения логических действий.

Никаких других символов в логике высказываний нет.

Осмысленное выражение языка логики высказываний определяется следующим образом:

1. Всякая переменная есть осмысленное выражение;

2. Если А – осмысленное выражение, то ØA, A Ù B, A Ú B, A Ú B, A®B, A«B - тоже осмысленные выражения;

3. Никаких других осмысленных выражений в логике высказываний нет.

Законы логики высказываний

Для выявления форм, являющихся логическими законами, можно воспользоваться таблицами истинности. Схема, порождающая только истинные сложные высказывания, является логическим законом.

Наиболее простыми законами логики высказываний являются законы, которые можно выразить с помощью одной переменной – закон исключенного третьего, закон противоречия, закон тождества, закон удаления двойного отрицания, введения двойного отрицания и др.

Закон исключенного третьего – схема AÚØA – два отрицающих друг друга высказывания не являются вместе ложными, выполняется одна из возможностей: если ложно одно из этих высказываний, то истинно его отрицание, а что-либо третье исключено.

Закон противоречия - схема Ø(A Ù ØA) - два отрицающих друг друга высказывания не являются вместе истинными, одно их них ложно.

Закон тождества – схема A«A – всякое высказывание является эквивалентным (тождественным) самому себе, следовательно, в правильном рассуждении оно согласуется с самим собой.

Закон удаления двойного отрицания – схема ØØA®A - отрицание дважды некоторого высказывание образует его утверждение.

Закон введения двойного отрицания – схема A ® ØØA - утверждение некоторого высказывание образует его двойное отрицание. Справедливость рассмотренных законов с одной переменной легко проверяется табличным способом (см. таблицу 5).

Таблица 5

A	A Ú ØA	Ø(A Ù ØA)	A « A	ØØA ® A	A ® ØØA
и	и	и л	и	и	и
л	и	и л	и	и	и

Сложнеё структура законов с более чем одной переменной. Перечислим наиболее употребительные законы с двумя переменными:

(1) (A Ù B) ® (B Ù A);

(2) (A Ù B) ® A;

(3) (A Ù B) ® B;

(4) A ® (B ® (A Ù B));

(5) (A ® B) ® (ØB ® ØA);

(6) ((A ® B) Ù A) ®B;

(7) (A ® B) ® Ø(A Ù ØB);

(8) (A Ú B) ® (B Ú A);

(9) (A Ú B) ® (ØA ® B);

(10) (A « B) ® (B « A);

(11) (A « B) ® (A ® B);

(12) (A « B) ® (B ® A);

(13) ((A ® B) Ù (B ® A)) ® (A « B);

(14) Ø(A Ú B) « (ØA Ù ØB);

(15) Ø(A Ù B) « (ØA Ú ØB).

С увеличением числа переменных табличный метод становится малопригодным. Поэтому изобретаются более удобные способы селекции логических законов. Один из них (будем называть его сокращенным) связан с использованием допущений.

Применение сокращенного метода требует хорошей ориентации испытателя в определениях основных логических союзов.

ОТНОШЕНИЯ МЕЖДУ СХЕМАМИ ВЫСКАЗЫВАНИЙ

Логические отношения между высказываниями устанавливаются через отношения схем, которые наполняются содержанием этих высказываний. Будем считать, что две схемы a и b находятся в отношении сопоставимости лишь тогда, когда существует хотя бы одна переменная, содержащаяся как в a, так и в b.

Основные отношения – это отношения совместимости и несовместимости. Совместимость схем определяется наличием хотя бы одного случая, когда при одинаковых логических значениях переменных эти схемы одновременно получают значение «истинно». При отсутствии такого случая схемы несовместимы.

ОТНОШЕНИЯ МЕЖДУ СОВМЕСТИМЫМИ

СХЕМАМИ ВЫСКАЗЫВАНИЙ.

Отношение следования (подчинения) - логические схемы a и b находятся в отношении следования (из a следует b), если и только если при одинаковых значениях переменных не бывает так, что схема a получает значение «истинно», а схема b получает значение «ложно».

Отношение полной совместимости (равнозначности) - схемы a и b находятся в отношении полной совместимости, или равнозначности, если и только из схемы a следует схема b, и наоборот; иными словами, в этом случае при одинаковых значениях переменных схемы a и b принимают одинаковые логические значения и их таблицы истинности полностью совпадают.

Если отношение равнозначности обозначить знаком Û, то верны следующие утверждения:

(1) Ø(A Ù B) ÛØA Ú ØB;

(2) Ø(A Ú B) Û ØA Ù ØB;

(3) A Ú B Û (A Ù ØB) Ú (ØA Ù B);

(4) A ® B ÛØB ® ØA;

(5) A ® B Û Ø(A Ù Ø B);

(6) Ø(A ® B) ÛA ÙØ B;

(7) A ® B ÛØA Ú B;

(8) A « B Û (A ® B)Ù(B ® A);

(9) Ø(A « B) Û AÚB;

(10) A Û ØØA;

(11) A Û AÙ(AÚB);

(12) A Û (AÚB)Ù(A ÚØB);

(13) A Û (AÙB)Ú(AÙØB);

(14) (A Ú C) Ù (B Ú ØC) Û (AÚC)Ù(BÚ ØC)Ù(AÚB);

(15) (A Ù C) Ú (B Ù ØC) Û (AÙC)Ú(BÙØC)ÚAÙB);

(16) AÙ AÛ A;

(17) AÚ AÛ A;

(18) AÙØAÛ л;

(19) AÚØAÛ и;

(20) A Ù (B Ù C) Û (A Ù B)ÙC;

(21) A Ú (BÚ C) Û (A Ú B)ÚC.

Отношение частичной совместимости - схемы a и b находятся в отношении частичной совместимости, если и только если при одинаковых значениях переменных они вместе получают значение «истинно», но не получают значение «ложно».

Отношения между несовместимыми схемами высказываний.

Отношение противоречия - схемы a и b находятся в отношении противоречия, если и только если при одинаковых значениях переменных они получают разные логические значения. Это значит, что с их помощью порождаются высказывания, которые не могут быть вместе истинными, как и не могут быть вместе ложными.

Отношение противности - схемы a и b находятся в отношении противности, если и только если при одинаковых значениях они вместе получают значение «ложно», но не получают значение «истинно».