17.Функция распределения вероятностей случайной величины

Описание распределения набором вероятностей не очень удобно: слишком много существует борелевских множеств. Мы описали дискретные распределения таблицей распределения, абсолютно непрерывные — плотностью распределения. Попробуем поискать какой-нибудь универсальный способ описать любое возможное распределение.

Можно поставить вопрос иначе: распределение есть набор вероятностей попадания в любые борелевские множества на прямой. Нельзя ли обойтись знанием вероятностей попадания в какой-нибудь меньший набор множеств на прямой? Борелевская -алгебра порождается интервалами (равно как и лучами ), поэтому можно ограничиться только вероятностями попадания в такие лучи для всех . А уже с их помощью можно будет определить и вероятность попасть в любое борелевское множество.

Замечание. Можно с таким же успехом ограничиться набором вероятностей попадания в интервалы , или в , или в .

Определение. Функцией распределения случайной величины называется функция , при каждом равная вероятности случайной величине принимать значения, меньшие  :

Перечислим основные дискретные и абсолютно непрерывные распределения и найдём их функции распределения.

Если функция распределения F_ (x) непрерывна, то случайная величина  называется непрерывной случайной величиной.

Если функция распределения непрерывной случайной величины дифференцируема, то более наглядное представление о случайной величине дает плотность вероятности случайной величины p_ (x), которая связана с функцией распределения F_ (x) формулами

и .

Отсюда, в частности, следует, что для любой случайной величины .

21.Основные законы распределения дсв

Биномиальным называют закон распределения Д.С.В. Х - числа появлений события в n независимых испытаниях, в каждом из которых вероятность появления события равна р, вер-ть возможного значения Х=k (числа k появлений события) вычисляют по формуле Бернулли: Pn (k)=Cn^k* p^k *q^(n-k)

Распределение Пуассона

Говорят, что случайная величина имеет распределение Пуассона с параметром , где , и пишут: , если принимает значения с вероятностями  . Таблицу распределения читатель может нарисовать самостоятельно.

Гипергеометрическое распределение

Говорят, что случайная величина имеет гипергеометрическое распределение с параметрами , и  , где , , если принимает целые значения такие, что , , с вероятностями  . Случайная величина с таким распределением имеет смысл числа белых шаров среди шаров, выбранных наудачу и без возвращения из урны, содержащей белых шаров и не белых.

18.Теорема о вер-ти отдельно взятого значения нсв

Вероятность попадания НСВ в заданный интервал

Вер. попадания СВ Х в задан. интервал равна приращению ее функции распредел. на этом интервале, т.е. вер. того, что ( )= F( ) - F( ). Эта формула следует из формулы F( )=F( )+ P( ) – вопрос №24, если вместо точек взять точки и . Вер. любого отдельного значения непрерывн. СВ равна 0. Доказ-во: Воспользуемся равенством ( )= F( ) - F( ) и устемим к ( ). Тогда получим = . В левой части последн. рав-ва в пределе вместо вер. попадания значения СВ в интервал получим вер. того, что СВ приняла отдельно взятое значение , т.е. . Значение предела в правой части рав-ва зависит от того, явл. ли функц. F(x) непрерывн. в точке или имеет в ней разрыв. Если функц. имеет разрыв, то предел равен величине скачка функции F(x) в точке . Т.к. по предположению функц. F(x) всюду непрерывна, то = F( ) - F( ) = 0. Т.о. = = =0. При непрерывн. распределении вероятностей, т.е. когда функц. распредел. непрерывна, вер. попадания значения непрерывн. СВ на сколь угодно малый участок отлична от 0, тогда как вер. попадания в строго определен. точку равна 0. Воспользовавшись последн. св-вом, докажем, что для непрерывн. СВ выполняются след. рав-ва: Р( ) = = = . Докажем одно из соотношений. Соб. представл. собой сумму 2-ух несовместн. событий и . Тогда по теореме сложения вер. имеем Р( ) = + . Согласно последн. св-ву =0, тогда + = = F( ) - F( ). Следоват-но = F( ) - F( )

19.. Плотность вероятности НСВ

Функц. распредел. вероятностей непрерывной СВ дает полную вероятностн. хар-ку ее поведения. Однако задание непрерывн. СВ с пом. функц. распредел. не является единственным. Ее можно задать с пом. др. функции, кот. назыв. дифференциальн. функц. распределения или плотностью распредел. вероятностей. Пусть X – несрерывн. СВ с интервальн. функц. распредел. F(x). F(x) непрерывна и дифференцируема в исследуемом интервале. Рассмотрим вер. попадания значения СВ в интервал (x; x+ x). P(x<X<x+ x) = F(x+ x) – F(x), т.е. вер. равна приращению функц. на этом участке. Определим вер., кот. приходится на единицу длины рассматриваемого участка. Для этого разделим обе части последн. рав-ва на x: = = = = . = f(x). Опред.: Дифференц. функц. распредел. или плотностью распредел. вер. называется 1-ая производная от интегральн. функции распредел. Замеч.: Для хар-ки распредел. вер. дискретн. СВ дифференц. функция распредел. непременима.