16.Фср однородного лду с постоянными коэффициентами в случае, когда характеристическое уравнение имеет кратные корни.

(1)L[y]=y⁽ⁿ⁾+a₁y^(n-1)+…+a_n-1 y’+a_n y=0 и (2) l(t)=tⁿ +a₁t^n-1 +…+a_n-1 t+a_n –характеристический многочлен одноро.ЛДУ(1).

Опр 1. Говорят, что число C является корнем кратности k многочлена l(t) степени (n-k), если l(t)=(t-)^kl₁(t), где l₁()0(Если k=1, - простой корень).

Теор 1. Пусть C является корнем кратности k характер-го многочлена, тогда функции e^Х, xe^Х,..,x^k-1e^Х являются реш-ми (1).

Теор 2. Пусть различные ₁,..,_sC(_i_j)-корни характер-ого урав-я l(t) кратности k₁,…,k_s –cоответственно. Тогда общее решение уравнения (1) имеет вид: y=p₁(x)e^1X +p₂(x)e^2X +…+p_s(x)e^sX,где P_j(x)-многочлен степени k_j-1 с произвольными комплексными коэффициентами P_j(x)=(C_1j+C_2jX+…+C_kjX^Kj-1)e^jX (j=1,…,s)

I)Действительный случай:

a₁,…,a_nєR; (1) y⁽ⁿ⁾+a₁y^(n-1)+…+a_n-1 y’+a_n y=0 (2)l(t)=tⁿ +a₁t^n-1 +…+a_n-1 t+a_n

А)Пусть ₁=₂=…=_kєR (-действительный корень кратности k)

e^X,xe^X,…,x^k-1e^X-действительное решение.

Б) ₁=…=_k= α+iβ

_k+1=…=_2k= α-iβ ,(α,βєR)

е^X=e^(α+iβ)X=e^αx (cosβx+isinβx); ^sе^X=x^ke^(α+iβ)X=e^αx (cosβx+isinβx) -решение уравнения (2).

II)Общее решение:

Пусть ₁,…,_mєR действительный корни l(t) для уравнения (2) кратности k₁,….,k_m соответственно,

α₁±iβ₁,…, α_s±iβ_s-комплексные корни урав-я(2) кратности k_m+1,..,k_m+s соответственно. Тогда урав-е (1) имеет вид: y=ⁿ_(j=1) P_j(x)e^jx +^s_(u=1) e^αux(Q_k+u(x)cosβx+R_k+u(x)sinβx),где P_j-многочлен степени к_j-1,Q_k+s(x), R_k+s(x)-многочлены k_m+r-1 c cпроизвольными действительными коэфф-ми. --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------17.Отыскание частного решение неоднородного ЛДУ с постоянными коэффициентами и стандартной правой частью. (1) L[y]= y⁽ⁿ⁾+a_ny^(n-1)+…+a_(n-1)y’+a_ny=f(x) или (1) L[y]=f(x)=0,где a₁, a₂,…,a_nєC; Известно,что у_о.н.=у_о.о.+у_ч.н. Теор 1. Пусть єC,a₁, a₂,….,a_mєC; P_m(x) – многочлен степени m с комплексными коэф-ми. l(t)=tⁿ +a₁t^n-1 +…+a_n-1 t+a_n –характеристический многочлен уравнения (1) (или оператора L) и f(x)=P_m(x)e^x; (2)L[y]=P_n(x)e^x – неоднородное ЛДУ порядка N, тогда: 1) нерезонансный случай- если  не является корнем l(t), то уравнение (2) имеет частное решение y_ч.н.(x)=Q_m(x)e^x, где Q_m(x) – многочлен степени m. 2)резонансный случай- если  - корень кратности x характер-го многочлена l(t), то уравнение (2) имеет частное решение вида: y_ч.н.=x^kQ_m(x)e^x, где Q_m(x) многочлен степени m. --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

18. Нормальная система ОДУ. Понятие решения и интегральной кривой. Постановка задачи Коши для нормальной системы, формулировка ТСЕ. Пусть функции f₁(x,y₁,..,y_n), f₂(x,y₁,..,y_n),..,f_n(x,y₁,..,y_n) определены в области Rⁿ⁺¹ Опр 1.Нормальной системой ОДУ порядка N называется система вида:(1){dy₁/dx=f₁(x,y₁,..,y_n); dy₂/dx=f₂(x,y₁,..,y_n);…;dy_n/dx=f_n(x,y₁,..,y_n)} Замечания .1)y₁,…,y_n-зависимые переменные от независимой переменной x; 2) число уравнений системы (1) равно числу зависимых переменных y₁,..,y_n; 3) порядок системы (1) равен числу уравнений; 4) каждое уравнение систем разрешено относительно производной 1-ого порядка,правая часть производных не содержит. Опр 1.Говорят,что на промежутке I=<α,β> определена вектор-функция y(x), если на I заданы функции y₁(x),…,y_n(x),то векторная запись системы (1): (2) dy/dx=f (x,y) Опр 2. Решением нормальной системы ОДУ (1) наз.вектор-функция j(x)=( j₁(x),…, j_n(x))^T определенная на промежутке I=<α,β> и удовл-я условиям:1) j(x)ÎC(I); 2) "xÎI:(x, j(x))ÎW; 3) "xÎI: dj(x)/dx≡f(x, j(x)). Опр 3. Пусть j(x)=(j₁(x),…,j_n(x))^T-решение системы (1),(2) на промежутке I=< α, β> кривая γ Rⁿ⁺¹ и заданная параметрическим урав-ем: x=x;y₁= j₁(x),….,y_n=j_n(x),x I называется интегральной кривой систем (1),(2). Постановка задачи Коши.ДАНО:1)система(1); 2)точка (x₀,y₁⁰,…,y_n⁰) ÎW НАЙТИ: j(x)=(j₁(x),…,j_n(x))^T-решение определенное на окрестности (х₀-h,x₀+h) точки х₀ и удовлетвор-я условиям: j(x₀)=y₁⁰, j₂(x)=y₂⁰,…, j_n(x₀)=y_n⁰ или j(x₀)=y₀ ,где y₀=(y₁⁰,y₂⁰,…,y_n⁰)^T. Начальные условия- (x₀,y₁⁰,…,y_n⁰)=(x₀,y₀). ТСЕ(для нормальной системы ОДУ).Пусть f(x,y)=(f₁(x,y₁,…,y_n),…,f_n(x,y₁,…,y_n))^T и ¶f/¶y_i (i=1,…,n) определены и непрерывны в области WÌRⁿ⁺¹ и точка (x₀,y₁⁰,…,y_n⁰)ÌW.Тогда существует j(x) решение задачи Коши такое: ¶y/¶x=f(x,y); y(x₀)=y₀ , определенное на интервале (х₀-h,x₀+h) и это решение единственно.