13.Теорема об общем решении неоднородного лду порядка n.

(1) yⁿ+p₁(x)y^n-1+…+p_n-1(x)y’+p_n(x)y=f(x)

(1) L[y]=f(x) – неоднородное ЛДУ

(2) yⁿ+p₁(x)y^n-1+…+p_n-1(x)y’+p_n(x)y=0

(2) L[y]=0

Говорят, что однородное ЛДУ (2) соответствует неоднородному ЛДУ (1)

Теор 1.Общее решение неоднородного ЛДУ(1) представляется как сумма общего решения соответствующего однородного ЛДУ (2) и некоторого частного решения y_ч( x) неодно-го ЛДУ(1).Если y₁(x),…,y_n(x)-ФСР однор-го ЛДУ(2), а y_ч(x)-частное решение неоднор-го ЛДУ(1), то общее решение (1): y(x)=y_ч+С₁y₁(x)+…+C_ny_n(x) (3), где C₁,..,C_n – произвольные постоянные.

--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

14.Метод вариации произвольных постоянных для неоднородного лду порядка n.

Пусть найдены y1(x),..,yn(x) – ФСР (9) Будем искать yч.(x) – частное решение неоднородного уравнения (8) в виде: yч.=C1(x)*y1(x)+…+Cn(x)*yn(x), где C1(x),..,Cn(x) – непрерывно дифференцируемые на I функции, подлежащие определению. k=1,..,n L[yk(x)]=0 yч.=(i=1)(n)(Ci(x)yi(x)) При подстановке yч. В (8) получится: y’ч.(x)= (i=1)(n)(Ci(x)*y’i(x))+ (i=1)(n)(C’i(x)*yi(x)) Наложим дополнительные условия (i=1)(n)(C’i(x)*yi(x))=0, тогда y’ч.= (i=1)(n)(Ci(x)*y’i(x)) y’’ч.= (i=1)(n)(Ci(x)*y’’i(x))+ (i=1)(n)(C’i(x)*y’i(x)) (i=1)(n)(C’i(x)*y’i(x))=0 Итак, пусть (i=1)(n)(C’i(x)*y{k}i(x))=0 для k=0,..,n-2 y{n-2}ч.= (i=1)(n)(Ci(x)*y{n-1}i(x))

Решаем неоднородное уравнение L[y]=f(x) y{n}(x)+p1(x)*y{n-1}(x)+…+p(n-1)(x)*y’(x)+pn(x)*y(x)=f(x)

Ищем частное решение в виде yч.=(i=1)(n)(Ci(x)*yi(x)), y1(x),..,yn(x) – ФСР L[y]=0

y{k}ч.= (i=1)(n)(Ci(x)*y{k}i(x)), k=1,..,n-1. Получим систему из n ур-ний: (i=1)(n)(C’i(x)*y{k}i(x))=0 y{n}(x)=(i=1)(n)(C’i(x)*y{n-1}i(x))+ (i=1)(n)(Ci(x)*y{n}i(x)). --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------15. ФСР однородного ЛДУ с постоянными коэффициента-ми в случае простых корней характеристического уравнения (действительных или комплексных). Теор 1. Пусть a₁,..,a_nC и (1) L[y]=y⁽ⁿ⁾+a₁y^(n-1)+…+a_n-1 y’+a_n y=0 и (2) l(t)=tⁿ +a₁t^n-1 +…+a_n-1 t+a_n –характеристический многочлен ОЛДУ (1). Функция e^x, где C, является решением уравнения , когда  - корень характеристического многочлена (2) Лемма. Пусть ₁,₂,..,_nC, причем _i_j при ij. Тогда функции е^1X, е^2X,…, е^nX линейно независимы на R. Теор 2. Пусть ₁,₂,..,nC-корни характер-ого уравнения (2)попрано различны, тогда функции е^1X, е^2X,…, е^nX образуют ФСР урав-я(1) и общее решение имеет вид: (3)y=С₁е^1X,С₂е^2X,…,С_nе^nX ,где С₁,С₂,…,С_n-произвольные комплексные постоянные. I)Действительный случай: a₁,…,a_nR. (4) L[y]=y⁽ⁿ⁾+a₁y^(n-1)+…+a_n-1 y’+a_n y=0 и l(t)=tⁿ +a₁t^n-1 +…+a_n-1 t+a_n –многочлен с действ-и коэфф-и ₁,₂,..,_n-корни этого многочлена. А) ₁,..,_nR; y_o.o= е^1X,…, е^nX Б) ₁= α+iβ ; ₂= α-iβ(α,βR),тогда y₁^/(x)= е^1X= е^(α+iβ)X= е^αX(cosβx+isinβx)-решение урав-я(4); y₂ ^/(x)= е^2X= е^(α-iβ)X= е^αX(cosβx-isinβx)-решение урав-я(4) II)Общий случай:Пусть ₁,₂,..,_k-различные дейст-е корни характер-ого многочлена, α₁±iβ₁,…,α_m±iβ_m-различные корни характер-ого уравнения,тогда ФСР имеет вид: е^1X,…, е^kX, е^α1Xcosβ₁x е^α1Xsinβ₁x,…, е^αmXcosβ_mx е^{αm X}sinβ_mx; Общее решение: y=^k_(i-1) C_iе^iX=ⁿ_(s-1) е^αsX(A_jcosβ_sx+B_jsinβ_sx(где С_i,A_j, B_j–действительные произвольные корни.