§ 3 Примеры решения задач на уравнение Клапейрона – Менделеева

З а д а ч а1 . Резиновый мяч содержит 4 л воздуха, находящегося при температуре 20 єС при атмосферном давлении 780 мм рт. ст. Какой объем займет воздух, если мяч будет опущен в воду на глубину 10 м? Температура воды 4 єС.

А н а л и з у с л о в и я з а д а ч и : по условию задачи рассматривается воздух в двух состояниях: на поверхности воды и на глубине h. Обозначим параметры состояния в каждом случае.

Решение:

Запишем уравнения состояния для каждого случая, учитывая, что масса воздуха в шаре остается постоянной. Получим систему уравнений

Разделим второе уравнение на первое и выразим искомый объем

Д а н о : V0 = 4 л = 4 • 10-3 м3 T0 = (20 + 273) K hрт = 780 мм рт. ст. hв = 10 м T1 = (4 + 273) K V1 = ?

В воде на глубине h давление будет складываться из атмосферного у поверхности воды и давления столба воды высотой h Получим формулу для объема Атмосферное давление дано по условию в мм рт. ст. Для перевода его в паскали записываем формулу . Окончательная формула Вычисления дают результат V1 = 1,96л.

О т в е т : V₁ = 1,96 л.

З а д а ч а 2. Идеальный газ находится в цилиндрическом сосуде под поршнем. Поместив на поршень груз массой m, его объем изотермически уменьшили в n раз. Какой массы груз следует добавить, чтобы объем газа изотермически уменьшили еще в k раз?

А н а л и з з а д а ч и : По условию задачи рассматриваются три состояния газа. Введем обозначения параметров:

1 2 3

V₁/n, T₁ V₁/nk, T₁

Рис. 8

Д а н о :	Р е ш е н и е
Т = const mx = ?	Запишем уравнения Бойля - Мариотта для перехода из 1-го состояния во 2-е и для перехода из 1-го состояния в 3-е. Получим систему: Давление газа увеличивается с давления p1 в 1-м состоянии благодаря воздействию груза. На газ действует вес груза. Изменение давления, вызванное действием груза во 2-м состоянии, может быть вычислено по формуле

,

где S - площадь поршня.

Тогда давление со стороны груза в 3-м состоянии . Подставляя значения изменений давления в систему, сокращая обе части уравнений на V₁, получаем:

Раскрываем скобки, переносим выражения, содержащие p₁, в левую часть системы:

Делим 1-е уравнение на 2-е:

Преобразуем левую часть уравнения:

.

Получаем уравнение

.

Делим обе части уравнения на k, используем свойство пропорции, переносим выражения, содержащие неизвестные, в левую часть, а все остальные – в правую. Получаем

.

Окончательная формула: .

О т в е т : .

З а д а ч а 3 . Два сосуда с объемами V₁ = 40 л и V₂ = 20 л содержат газ при одинаковой температуре, но разных давлениях. После соединения сосудов в них устанавливается давление р = 1 МПа. Каково начальное давление р₁ в большем сосуде, если в меньшем оно было равно р₂ = 600 кПа? Температура не изменяется.

А н а л и з у с л о в и я з а д а ч и . Процесс соединения сосудов с газом - изотермический. Обозначим параметры состояний. Рассматриваются три состояния. Используется один и тот же газ, молярная масса в обоих сосудах одинаковая, а массы – разные.

1-е состояние 2-е состояние 3-е состояние

параметры V₁ p₁ T V₂ p₂ T (V₁+V₂) p T

состояния

m₁, µ m₂, µ (m₁ + m₂), µ

Д а н о :	Р е ш е н и е
V1 = 40 л = 4•10-2 м3 V2 = 20 л = 4•10-2 м3 р = 1 МПа	Записываем уравнение Менделеева - Клапейрона для каждого состояния. Получаем систему:
р2 = 600 кПа T = const p1 = ?

Выразим из первых двух уравнений массы и подставим их значения в третье уравнение:

p ( V₁ + V₂ ) = .

Преобразуя это выражение, получаем:

p (V₁ + V₂) = p₁V₁ + p₂V₂ ,

откуда

р₁ = .

О т в е т : р₁ = .