2. Окружность.

Окружность будем обозначать: w ( C, r )

W(c, r ) = { M || CM | = r }

R = { O, ( i, j )}, С ( q , b ) центр радиус

 M ( x,y )  W ( c, r )

Составим уравнение окружности

M( x, y )  W( c, r )  | CM | = r

= r

Так как обе части последнего равенства неотрицательны, то возвоздя обе части уравнения в квадрат, получим уравнение, равно-

сильное исходному: ( x-a) + ( y-b ) = r ( 1 )

( 1 ) – нормальное уравнение окружности.

Если c = O ( 0,0 ) , то x + y = r ( 2 ) – каноническое уравнение окружности.

[ ” Канон ” – закон ( узаконенное уравнение )]

Так как фигуры на плоскости задаются, как непустые множества точек, то используя операции над множествами, имея данные фигуры, получать новые, которые являются пересечениями и объединениями исходных.

Пусть заданы 2 фигуры, своими уравнениями ( или неравенствами ):

₁={M(x, y)|F₁(x, y)=0}

₂={M(x, y)|F₂(x, y)=0}

Тогда ₁₂: (1)

Если точка М принадлежит фигурам ₁ и ₂ , то её координаты удовлетворяют и уравнению и первой фигуры и уравнению второй фигуры, в следовательно являются решениями системы (1)

Обратно: каждое решение системы (1) является решением первого и второго уравнения, ну а следовательно т.М, координаты которой являются решением системы (1), принадлежит ₁ и ₂

Рассмотрим ^*=₁ ₂:

Правило: 1. Чтобы найти фигуру, которая является пересечением двух или нескольких фигур, заданных своими уравнениями или неравенствами необходимо и достаточно объединить уравнения и неравенства в одну систему

2. Чтобы найти объединение фигур, необходимо и достаточно объеденить уравнения и неравенства в совокупность.

Пересечения фигур, заданных уравнениями, можно записать в виде одного уравнения, например:

=₁ ₂: F₁²(x,y)+F₂²(x,y)=0

^*=₁ ₂: F₁(x,y)F₂(x,y)=0

Правило:

1). Чтобы написать уравнение пересечения двух или нескольких фигур, заданных уравнениями, необходимо и достаточно возвести каждое уравнение в квадрат и сложить

2). Чтобы составить уравнение объединения двух или нескольких фигур, заданных уравнениями, необходимо и достаточно перемножить уравнения данных фигур.

Иногда удобно при задании фигуры связывать координаты произвольной точки фигуры с не с уравнением( неравенством), а вводя новую переменную t (которая называется параметром) задать каждую координату т.М как функцию этого параметра. В этом случае говорим, что фигура заданна параметрически

где tR}

Пример: Составить параметрическое уравнение окружности с центром в начале координат, принимая за параметр величину угла между осью Ох и радиус-вектором произвольной точки окружности

M(x,y)(0,r)

M₁=OxMM₁ | | Oy

(x=OM₁, y=M₁M) (1)

OM₁M

Параметрические уравнения;

(0,r)={M(x,y)

Исключая параметр t из системы параметрических уравнений, задающих фигуру( если это возможно), получаем обычное уравнение фигуры.

Так, например, для окружности: возведя каждое из параметрических уравнений в квадрат, получим:

x +y =r (cos t+sin t)

Уравнения и неравенства, определяющие фигуру, мы рассмотрим относительно афинных систем координат. Очевидно, что все это имеет место, если афинную систему координат заменить полярной системой координат

F(r,)-«Терм»; P={0,(e)}

Ф₁={M(r,) | F(r,)=0}

Ф₂={M(r,) | F(r,)>0}

_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _

Ф₆={M(r,) | F(r,)­­ 0}