3.Вычитание векторов

Df: Разностью двух векторов a и b называется вектор x, такой, что в сумме с вектором b дает вектор a

Теорема: Для любых двух векторов вектор разность существует и определен однозначно

Док-во:

Пусть x-разность векторов a и b, тогда по определению разности векторов b+x=a. Прибавим к обеим частям равенства вектор (-b)

(-b)+(b+x)=(-b)+(a)

((-b)+b)+x=a-b

x=a-b

Из последнего равенства следует, Что вектор-разность всегда существует (т.к. всегда существует и сумма двух векторов, и вектор противоположный данному) и однозначна (т.к. сумма однозначна и (-b)-однозначен) a-b=a+(-b)

Правило вычитания двух векторов.

Откладываем a и b от данной точки, т.е. OA=a и OB=b OACB₁-параллелограмм; OC=a+(-b)=a-b

Соединим точки В и А, тогда ВА=ОС (т.к. ВАКО - параллелограмм); ВА=a-b.

Из последнего факта следует второе правило вычитания векторов: Вектор, начало которого совпадает с концом b, а конец с концом a

Правило вычитания векторов: чтобы найти разность двух векторов достаточно отложить эти вектора от одной точки, тогда вектор, начало которого совпадает с концом вектора вычитаемого, а конец с концом вектора уменьшаемого, будет разностью.

Лекция 2

Умножение вектора на число

Пусть дано число  и вектор а

Df: Произведением числа  на вектор a называется вектор, такой, что:

1. |b|=|||a|

2. ba, если >0

ba, если <0

b=0, если =0 или a=0

Из определения произведения вектора на число вытекают следующие 3 свойства

Свойства произведения вектора на число

1⁰. 1a=a

2⁰. -1a=-a

|(-1)a|=|-1||a|=|a| и |-a|=|a|  |(-1)a|=|-a|

(-1) aa и -aa  (-1)a(-a)

3⁰. Любой вектор a можно представить в виде произведения модуля вектора а на его единичный вектор. a=|a|a⁰

Докажем, что произведение вектора на число обладает следующим дополнительным свойством:

4⁰. Пусть a,b- два вектора и a0, тогда а коллинеарен b, тогда и только тогда, когда существует число , такое, что b=a

a | | b  такое, что b=a(a0)

Доказательство:

Пусть a | | b и a0 (1). Согласно 3⁰ вектор а можно представить:

Из (1) следует b⁰=  a⁰

Обозначим , значит

Из того, что b= a  a | | b

5⁰. Произведение вектора на число ассоциативно относительно произведения чисел

()a=(a)

Доказательство:

Рассмотрим модуль вектора:

|()a|=|||a|=||(|||a|)=|| |a|=|(a)|

Направление векторов, стоящих в левой и правой частях равенства также совпадают, т.к. они сонаправлены с a; а если  и  числа разных знаков, то они противоположно направлены с a.

6⁰. Дистрибутивный закон относительно суммы чисел (+)a=a+a –первый дистрибутивный закон

Доказательство:

Очевидно, равенство имеет в следующих случаях: если одно из чисел равно 0, или их сумма равна 0, или а=0. Эти случаи мы исключаем из рассмотрения.

Рассмотрим два случая.

А)  и  - одного знака

| (+) a|=|+||a|=(||+||)|a|=|||a|+|||a|=|a|+|a|=|a + a|

Направление векторов, стоящих в обеих частях равенства, также сонаправленны если >0  >0, то оба вектора сонаправлены с а; если <0  <0, то оба вектора противоположно направлены с а.

Б)  и  разных знаков

а=(+-)а=((а=аа

Прибавим к обеим частям равенства а:

аа=ааа=а

7⁰.Произведение вектора на число дистрибутивно относительно суммы векторов (a+b)=a+b – второй дистрибутивный закон

Равенство имеет место, если один из векторов нулевой, или их сумма равно 0, или =0. Поэтому эти случаи исключим из рассмотрения.

Рассмотрим два случая:

А) a | | b

Построим ОА=a, OB=b, OA’=a (>0), OB’=OB=a+b)

Т.к. OABOA’B’A’B’=AB=b

O,A’,B’OB’=OA’+A’B’=a+b=(a+b)

В) a | | b b=b

a+b)=(a+a)=aa=)a=a+aaaab

Лекция 3

Линейная зависимость векторов. Координаты вектора. Действия над векторами в координатах.

Упорядоченный набор бесконечного числа векторов (чисел) будем называть системой векторов (чисел).

Пусть дана система векторов: a_1, a₂,…, a_n (1)

и систем чисел:_1__n (2)

Тогда b=₁a₁+₂a₂+…+_na_n называется линейной комбинацией векторов системы (1), определенной системой чисел (2). Будем так же говорить, что вектор b линейно выражается через вектора системы (1) (операции сложения, вычитания и умножения на число называются линейными операциями)

Df: Система векторов a_1, a₂,…, a_n называется линейной системой, если существует система чисел _1__n среди которых хотя бы одно отлично от нуля и такая, что выполняется равенство: ₁a₁+₂a₂+…+_na_n=0 (3)

Если равенство (3) возможно лишь при условии, когда :₁₌_=₌_n=0, то система называется линейно независимой

Теорема 1: если система векторов содержит нулевой вектор, то она линейно зависима

Доказательство:

Пусть а₁=0, тогда 1a₁+0a₂+…+0a_n=0

Следствие: система, состоящая из одного вектора, линейно зависима, тогда и только тогда, когда вектор нулевой

Теорема 2: если система векторов содержит линейно зависимую подсистему, то она линейно зависима

Доказательство:

Пусть дана система векторов: a_1, a₂,…, a_n и пусть она имеет линейно зависимую подсистему: b_k=a_k, b_k+1=a_k+1,…,b_n=a_n. Тогда существуют числа: _k,_k+1,…,_n , среди которых хотя бы одно отлично от нуля, например _k 0, что будет выполняться равенство: _kb_k+…+_nb_n=0

₁=₂=…=_k-1=0; _k=_k,…, _n=_n

Составим линейную комбинацию:

0a₁+…+0a_k-1+(_ka_k+…+_na_n)=0

Теорема 3: система векторов линейно зависима, тогда и только тогда, когда один вектор системы линейно выражается через остальные.

Доказательство:

1) Необходимость

Пусть система векторов (1) линейно зависима, тогда существует система чисел (2), среди которых хотя бы одно отлично от нуля. Пусть ₁ 0, и такая, что:

₁a₁+₂a₂+…+_na_n=0

a₁=₂a₂+…+_na_n

2) Достаточность

Пусть вектор а линейно выражается через остальные вектора системы (1)

a₁=₂a₂+…+_na_n , тогда

(-1)a₁+₂a₂+…+_na_n=0

Следовательно система (1) линейно зависима

Следствие: если система векторов линейно независима, то ни один вектор этой системы нельзя выразить через остальные вектора системы

Теорема 4: система двух векторов линейно зависима тогда и только тогда, когда вектора коллинеарны

Доказательство:

1) Необходимость

Пусть пара векторов {a,b} линейно зависима числа ²²a+b

Пусть , тогда

2) Достаточность

Пусть a | | b. Если а=0, то система линейно зависима

Пусть а0, тогда

-линейно зависима

Df: Базисом плоскости называется упорядоченная пара линейно независимых векторов

Из Теоремы 4 следует, что базис плоскости образует упорядоченную пару неколлинеарных векторов B₁=(e₁,e₂), B₂=(e₂,e₁), B₁B₂

Базис называется ортогональным, если его вектора взаимно перпендикулярны

«B=(e₁,e₂) – ортогональный базис»  e₁e₂

«B=(e₁,e₂) – нормированный базис» |e₁|=|e₂|=1

«B=(e₁,e₂) – ортонормированный базис»

Для векторов ортогонального базиса вводятся обозначения: e₁=i, e₂=j

Теорема 5: любой вектор плоскости можно разложить по базису и притом единственным образом

Если на плоскости дан базис B=(e₁,e₂) и а – произвольный вектор плоскости, то существует единственная пара чисел (x,y) такая, что a=xe₁+ye₂

Доказательство:

Построим вектор OE₁=e₁, OE₂=e₂, OA=a (1), где О – произвольная точка плоскости

Построим:

A₁=OE₁AA₁ | | OE₂ (2)

A₂=OE₂AA₂ | | OE₁ (3)

(2), (3)  OA₁AA₂ – параллелограмм

OA=OA₁+OA₂ (4)

(2)OA₁ | | e₁ x|OA₁=xe₁ (5)

(3)OA₂ | | e₂ yOA₂=ye₂ (6)

Подставим (1), (5), (6) в (4):

a=xe₁+ye₂ (7)

Докажем, что пара (x,y) – единственная. Предположим, что существует другая пара (x^*,y^*) для которой a=x^*e₁+y^*e₂ (8)

Из (7) и (8)

Следствие: любые три вектора на плоскости линейно зависимы

Доказательство:

a, b, c

1. если пара {a,b} – линейно зависима, то {a,b,c} – линейно зависима (Теорема 2)

2. {a,b} – линейно независима B(a,b) – базис (Теорема 5)  (x,y) | c=xa+yb {a,b,c} –линейно зависимы (Теорема 3)

Df: Упорядоченная пара чисел, определяющая разложение вектора по базису называется координатами вектора в этом базисе

Действия над векторами в координатах.

Пусть B=(e₁,e₂) – базис на плоскости; а(а₁,а₂); b(b₁,b₂);  - число

Тогда:

1⁰.

Свойство 1⁰ следует из единственности разложения вектора по базису

2⁰.

a(a₁,a₂)a=a₁e₁+a₂e₂

b(b₁,_­b₂)b=b₁e₁+b₂e₂

ab=(a₁b₁)e₁+(a₂b₂)e₂

ab=(a₁b₁,a₂b₂)

3⁰. a(a₁,a₂)

a(a₁,a₂)a=a₁e₁+a₂e₂

a=a₁e₁+a₂e₂

a(a₁,a₂)

4⁰. a | | b 

1. Необходимость

2. Достаточность

Пусть а(а₁,а₂); b(b₁,b₂) и

Прировняем равные отношения к 

Лекция 4.

Скалярное произведение векторов