Обозначения

Точка: A, B, C,…

Прямая: a, b, c, …; (AB), (CD)…

Плоскость:  ,…; (ABC)…

Луч: [AB), [CD),…

Отрезок: [AB], [CD],…

Треугольник: ABC

Множества: X,Y,Z

Элементы множества: x,y,z (-знак принадлежности)

XY-множество X есть часть (подмножество) множества Y

 - знак включения

X=Y-vy-во X и Y равны, то есть каждый элемент множества X принадлежит множеству Y и наоборот

X={x, y, z} – множество конечно

X={x| свойства, определяющие x}

-пустое множество

XY-объединение множеств Xи Y, XY={x|xX и xY}

XY-пересечение: XY={x|xX или xY}

X\Y-разность: X\Y={x|xX и xY}

 - следовательно(следует)

 - равносильно, знак логической равносильности

- квантор существования

-квантор общности

!-существует и единственный

Литература

1. Атонасян, Базылев “ Геометрия” ч.1

2. Базылев, Дуневич, Иваницкая “ Геометрия” ч.1

Лекция 1

Вектор. Коллинеарные вектора. Сложение и вычитание векторов.

Df1: Вектором называется направленный отрезок прямой (отрезок называется направленным, если указан порядок его концов, т.е. указанно какой конец считается началом, а какой концом)

Замечание: направленные отрезки [AB) и [ BA) не равны

На письме, в тексте векторы обозначаются одним из след способов:

1). a (a) – строчными латинскими буквами со строчкой или черточкой

2). AB (AB)

3) A-начало вектора

B-конец вектора

Df2. Вектор начало и конец которого совпадают, называют нулевым вектором

Обозначается: о, M₁M₁

Df3. Модулем вектора АВ(|АВ|) называется число, равное расстоянию между началом и концом вектора. Модуль нулевого вектора равен 0

Df4. Вектор называется единичным, если его модуль равен 1 (орт)

Пусть даны 2 луча [AB) и [CD). Лучи называются сонаправленными([AB)[CD)) тогда и только тогда, когда выполняются условия:

1 Лучи лежат на параллельных прямых

2 Существует прямая а, a | | b относительно которой лучи лежат в одной полуплоскости

 1.(AB)||(CD)

[ AB)[CD)

 2. a| a | | AB

Если выполняется условие 1 и не выполняется условие 2, то такие лучи называются противоположнонаправленными

 1.(AB)||(CD)

[ Ab) [cd) -лучи лежат в разных полуплоскостях

 2. a| a | | AB

Направление нулевого вектора не определенно, поэтому его можно считать как сонаправленным, так и противоположнонаправленным с любым вектором

Df5. Вектора а и b называются коллинеарными (a | | b) тогда и только тогда, когда они лежат на параллельных прямых или на одной прямой, т.е. a | | ba | | b

Укажем 3 соотношения между сонаправленностью и коллинеарностью:

1. aba | | b

2. aba | | b

ab

3. a | | b

 ab

Df6. Единичным вектором вектора (а⁰) называется орт сонаправленный с вектором a

|a⁰|=1

a⁰

a⁰a

Df7. Вектор a называется равным вектору b, если они сонапрвленны и имебт равные модули

a=b c=d

Вектор “-a” называется противоположный вектору а, если выполняется след условия:

A,B BA=-AB

1. –(-a)=a

Задача1: доказать, что AB равен CD тогда и только тогда, когда середина отрезка [BC] совпадает с серединой отрезка [AD]

Дано: M=N, BM=MC, AN=ND

Доказать: АB=CD