50. Точки экстремума.

Минимум (максимум) функции называется экстремумом функции.

Точка называется точкой максимума (минимума), если существует такая окрестность точки , что для всех выполняется неравенство .

Необходимое условие экстремума. Если дифференцируемая функция имеет экстремум в точке то ее производная в этой точке равна нулю.

Достаточное условие экстремума. Если непрерывная функция , дифференцируема в некоторой окрестности точки и при переходе через нее производная меняет свой знак, то - точка экстремума.

51. Критические точки.

Критические точки – точки, подозрительные на экстремум.

Если производная функции в точке равна нулю или не существует, то эта точка – подозрительная на экстремум (критическая точка).

Каждая точка экстремума – критическая (но не наоборот).

52. Достаточные условия экстремума.

Достаточное условие экстремума. Если непрерывная функция , дифференцируема в некоторой окрестности точки и при переходе через нее производная меняет свой знак, то - точка экстремума.

Если при переходе через точку экстремума производная меняет свой знак с плюса на минус, то эта точка – точка максимума, если с минуса на плюс – точка минимума.

53. Исследование функций с помощью производных высших порядков.

Если функция во всех точках (a;b) имеет положительную (отрицательную) вторую производную, то график функции на этом интервале выпуклый вниз (вверх).

54. Выпуклость и вогнутость кривой.

График дифференцируемой функции называется выпуклым вниз на интервале (a;b), если он расположен выше любой касательной на этом интервале, выпуклым вверх, если он расположен ниже.

55. Точки перегиба.

Точка, при переходе через которую график функции переходит с одной стороны касательной на другую (вторая производная меняет свой знак) называется точкой перегиба.

56. Асимптоты.

Асимптота кривой – прямая, расстояние от которой до точки, лежащей на кривой, стремится к нулю при неограниченном удалении от начала координат от этой точки по кривой.

Асимптоты могут быть вертикальными, наклонными и горизонтальными

Прямая является вертикальной асимптотой графика функции , если , или , или

Уравнение наклонной асимптоты будем искать в виде y = kx + b. , .

Горизонтальная асимптота – частный случай наклонной (когда ),

57. Схема исследования функций.

1. Область определения функции (D(y))

2. Точки пересечения графика с осями координат

3. Интервалы знакопостоянства

4. Четность\нечетность ( - нечетная, - четная)

5. Асимптоты

6. Интервалы монотонности (возрастание\убывание)

7. Экстремумы (минимумы\макимумы)

8. Интервалы выпуклости\вогнутости и точки перегиба

58. Неопределенный интеграл.

Функция F(x) называется первообразной функции f(x) на интервале (a;b), если для любого выполняется равенство (или )

Если функция F(x) является первообразной функции f(x) на (a;b), то множество всех первообразных для f(x) задается формулой F(x) + C, где C – постоянное число.

Множество всех первообразных функций F(x)+C для f(x) называется неопределенным интегралом от функции f(x) и обозначается символом

, f(x) – подынтегральная функция, f(x)dx – подынтегральное выражение, х – переменная интегрирования, - знак неопределенного интеграла.