Вопрос 34

средние квадратические погрешности измерений оценка точности по формулам Гаусса и Бесселя

Cредняя квадратическая погрешность (СКП). Формулы Гаусса и Бесселя. Порядок матобработки ряда равноточных измерений. Предельная абсолютная и относительная погрешности.

Наилучшим критерием  оценки  точности  измерений  принято  считать среднюю квадратическую  погрешность  (СКП) измерения,  определяемую по формуле Гаусса:   

где Δi=li-X  (Х - истинное значение измеряемой величины, а li - результат измерения).

Так как,  в большинстве случаях истинное значение  неизвестно,  то СКП определяют по формуле Бесселя:

где ϑi=li-х (х - средняя арифметическое значение или  вероятнейшее значение измеряемой величины, а li - результат измерения).

СКП арифметической середины:

Эта формула показывает, что СКП арифметической середины в √n раз меньше СКП отдельного измерения.

На практике различают предельные и относительные погрешности. Теорией доказывается, а практикой подтверждается, что абсолютное большинство случайных погрешностей находится в интервале от 0 до m - 68% , от 0 до 2m - 95% , от 0 до 3m - 99.7%.

На практике за предельную погрешность принимают 2m, т.е. с вероятностью 95% можно утверждать, что случайные погрешности  не  превысят  величины  равной  2m.  Если  n<10 то ϑi(пред)=tB . M, где tB - коэффициент Стьюдента (таблица)

Оценки точности результатов неравноточных измерений. Приведем без вывода формулы характеристик точности, используемых при обработке прямых неравноточных измерений.

Средняя квадратическая погрешность m измерения, имеющего вес, равный единице:

- формула Гаусса:  .

Формула применяется, когда известно достаточно точное, близкое к истинному, значение X измеряемой величины.

- формула Бесселя:   ,

Вопрос 35

средние квадратические погрешности функции измеренных величин

СРЕДНИЕ КВАДРАТИЧЕСКИЕ ОШИБКИ ФУНКЦИЙ ИЗМЕРЕННЫХ ВЕЛИЧИН

В практике геодезических и изыскательских работ часто искомые величины получают по формулам как функции ряда измеренных величин. Полученный результат будет содержать ошибку m, которая зависит от ошибок аргументов и вида функции.

Рассмотрим функцию вида:

 ,

 где k – постоянная величина (коэффициент); x – измеренная величина аргумента;

  или   .                                                                           (11)

 Пример. Расстояние по нитяному дальномеру, полученное по формуле:

    ,

 равно 200 м, с = 100, n = 200 см, mn = 0,5 см.

  

     – ошибка измерения расстояния.

Для функции вида Z = x + y средняя квадратичная ошибка:

     или   .                                                                     (12)

 Если   , то   .

Для функции    

     или   .

 Таким образом, для суммы и разности аргументов средняя квадратическая ошибка функции будет одинаковой.

Принцип нахождения средних квадратических ошибок для любой формулы рассмотрим на примере функции общего вида.

Запишем функцию общего вида   . Функция    независимых аргументов    может быть задана любым уравнением. Для нахождения средней квадратической ошибки функции по средним квадратическим ошибкам ее аргументов поступают следующим образом:

а) находят полный дифференциал функции, для чего берут частные производные по каждому из аргументов:

    ;

 б) возводят в квадрат все члены формулы, соединяют их знаком плюс и заменяют дифференциалы средними квадратическими ошибками:

    .