П.3 Признаки сходимости несобственных интегралов
Теорема 1
(критерий сходимости несобственного
интеграла от неотрицательной функции)
Если
,
то для сходимости несобственного
интеграла
необходимо и достаточно, чтобы функция
была
ограничена сверху, т.е.
.
Доказательство.
Заметим, что если
,
то
–
возрастающая функция. Действительно,
если
,
то
.
Но по критерию существования предела
монотонной функции,
существует тогда, и только тогда, когда
ограничена сверху ■
Теорема 2
(признак сравнения) Если
выполняется условие
,
то
а) из сходимости
интеграла
следует сходимость интеграла
;
б) из расходимости интеграла
следует расходимость интеграла
.
Доказательство.
Так как
,
то, в силу свойств интеграла,
выполняется неравенство:
.
Если интеграл
сходится,
то функция
ограничена сверху, тогда и функция
.
Значит, интеграл
сходится. Если же
расходится, то
не ограничена сверху, тогда и
не ограничена сверху. В силу критерия
сходимости несобственного интеграла
от неотрицательной функции, интеграл
расходится
■
Следствие
Если
выполняются условия
,
и при
,
то интегралы
и
сходятся или расходятся одновременно.
Доказательство.
Так как
при
,
то существует такая окрестность
,
что
выполняется
,
т.е.
.
Отсюда
.
На отрезке
интегралы
и
сходятся
как собственные. Значит, сходимость
этих интегралов на
равносильна их сходимости на
.
Применяя признак сравнения, из последнего
неравенства получим, что и требовалось
доказать ■
Критерий Коши сходимости несобственных интегралов
Для сходимости несобственного интеграла необходимо и достаточно, чтобы выполнялось условие Коши:
.
П.4 Абсолютно и условно сходящиеся интегралы
О. Несобственный
интеграл
называется
абсолютно
сходящимся,
если сходится интеграл
.
О. Несобственный интеграл называется условно сходящимся, если интеграл сходится, а интеграл расходится.
Теорема Из абсолютной сходимости несобственного интеграл следует его сходимость.
Доказательство.
Пусть
сходится. По критерию Коши, это значит,
что
.
Но так как
,
то условие Коши выполняется и для функции
■
Замечание. Обратное к утверждению теоремы не всегда верно.
П.5 Признаки Дирихле и Абеля сходимости интегралов
Признак Дирихле
Если 1) функция
ограничена на
(т.е.
);
2) функция
монотонна и
,
то интеграл
сходится.
Признак Абеля
Если 1) интеграл
сходится; 2) функция
монотонна и ограничена на
,
то интеграл
сходится.