П.2 Площадь криволинейного сектора
Пусть кривая Г
задана в
полярной системе координат уравнением
,
.
Тогда плоскую фигуру
,
ограниченную кривой Г
и отрезками
лучей
называют криволинейным
сектором.
Утверждение Площадь криволинейного сектора вычисляется по формуле:
.
Доказательство.
Пусть
разбиение отрезка
,
,
,
,
,
.
Обозначим
и
– круговые секторы, ограниченные лучами
,
и дугами окружностей радиусов
и
соответственно. Тогда
.
Величины
и
совпадают соответственно с нижней и
верхней суммами Дарбу функции
.
Поэтому при
получим
■
П.3 Вычисление объемов тел
а) Объем тела вращения.
Утверждение
Пусть криволинейная трапеция
вращается вокруг оси
.
Объем полученного тела вращения
вычисляется по формуле:
.
Доказательство.
Пусть
такие же, что в пункте 1. при вращении
вокруг оси
фигур
и
получаются цилиндры радиусов
,
и высоты
.
Получим
.
Величины
в правой и левой частях неравенства
являются соответственно с нижней и
верхней суммами Дарбу функции
при разбиении Т.
Поэтому при
они стремятся к
■
б) Объем тела с заданными площадями поперечных сечений.
Пусть
тело
заключено между плоскостями,
перпендикулярными оси
и пересекающими эту ось в точках
и
.
Обозначим через
фигуру, получаемую в сечении тела
плоскостью, перпендикулярной оси
и проходящей через точку
.
Пусть при
известна площадь
фигуры
,
причем функция
непрерывна на
.
Утверждение При указанных выше условиях объем тела вычисляется по формуле:
.
Пример
Вычислить объем эллипсоида
.
Решение. Проведем
плоскость, перпендикулярную оси
,
через точку
.
В сечении получим
эллипс
.
Запишем его уравнение в стандартном
виде:
.
Площадь эллипса,
получаемого в сечении
.
Тогда искомый объем
Аналогично рассуждая
при
получим объем шара
.
П.4 Вычисление длины дуги кривой
Утверждение Если кривая Г задана уравнением
,
где
непрерывно-дифференцируемые функции
на
,
то длина кривой Г
вычисляется
по формуле:
.
Если кривая Г
задана уравнением
,
то ее длина вычисляется по формуле:
.
Если кривая Г
задана в полярных координатах
,
то длина кривой вычисляется по формуле:
.
П.5 Вычисление площади поверхности вращения
Утверждение Если функция имеет непрерывную производную на , то площадь поверхности вращения, образованной вращением графика функции вокруг оси , вычисляется по формуле:
.
Если поверхность
получена вращением вокруг оси
кривой, заданной параметрически:
,
то
.
Если вокруг оси вращается кривая, заданная в полярных координатах уравнением , то
.
40 П.1 Определения несобственных интегралов
Интеграл Римана мы определили на отрезке и для ограниченных функций. Распространим понятие интеграла на случай бесконечного промежутка интегрирования и на случай, когда подынтегральная функция не ограничена.
А) Интеграл на бесконечном промежутке.
Рассмотрим
функцию
.
Она непрерывна на отрезке
,
значит, существует интеграл
.
Кроме того, существует
.
Этот предел называют несобственным
интегралом от функции
на промежутке
и пишут
.
.
Пусть функция
интегрируема на отрезке
.
Несобственным
интегралом от
функции
на промежутке
называется величина
.
Если последний предел существует и конечен, то несобственный интеграл называется сходящимся. В противном случае интеграл называется расходящимся.
.
Интеграл
определяется следующим образом:
,
причем предел не
должен зависеть от того, каким образом
и
стремятся к
и
соответственно.
Пример
Исследовать на сходимость интеграл
.
Решение. Если
,
то
.
Если
,
то
т.е.
.
Б) Интеграл на конечном промежутке от неограниченной функции.
Рассмотрим
функцию
.
Она не ограничена на отрезке
.
Но при
эта функция интегрируема на
,
причем
.
Рассмотрим
.
Этот предел называется несобственным
интегралом от функции
по отрезку
.
.
Пусть функция
определена на конечном промежутке
и интегрируема на отрезке
.
Несобственным
интегралом от
функции
на промежутке
называется величина
.
Если последний предел существует и конечен, то несобственный интеграл называется сходящимся, в противном случае – расходящимся.
Пример
Исследовать на сходимость интеграл
.
Решение. Если , то
.
Если
,
то
т.е.
.
41.