П.2 Свойства, связанные с операциями над функциями

Свойство 1 Если функции и интегрируемы на отрезке , то R функция интегрируема на отрезке и выполняется равенство:

.

Доказательство. Составим интегральные суммы для функций , , при заданном разбиении отрезка и зафиксируем отмеченные точки . Тогда имеет место равенство:

.

Перейдем к пределу при . Так как функции и интегрируемы на отрезке , то правая часть имеет предел, равный . Тогда и левая часть имеет такой же предел ■

Свойство 2 Если функции и интегрируемы на отрезке , то функция тоже интегрируема на отрезке .

Доказательство. Если и интегрируемы на отрезке , то они ограничены на нем, т.е. R : и . Значит, ограничена на .

Рассмотрим . Тогда

.

Тогда .

Умножим последнее равенство на и просуммируем по , получим .

При правая часть стремится к нулю, значит, и левая стремится к нулю. Значит, интегрируема на отрезке ■

П.3 Свойства, связанные с отрезками интегрирования

Свойство 1 Если функция интегрируема на отрезке , то она интегрируема на любом отрезке .

Доказательство. Возьмем любое разбиение отрезка . Нужно доказать, что при .

Добавим к точки из так, чтобы .

Тогда , так как правая часть содержит все слагаемые левой части.

Устремим , тогда , но тогда , но тогда и . Значит, интегрируема на отрезке ■

Свойство 2 Если функция интегрируема на отрезке и , то

.

Доказательство. Существование интегралов следует из свойства 1. Равенство следует из того, что , где и – интегральные суммы на отрезках и , причем является точкой разбиения отрезка .

Если , то пределы интегральных сумм , , существуют и выполняется равенство, приведенное в формулировке теоремы ■

Верно и обратное утверждение: если интегрируема на отрезках и , то она интегрируема и на отрезке , и выполняется равенство из свойства 2.

Положим по определению , .

Свойство 3 Пусть функция интегрируема на отрезке . Тогда выполняется равенство:

.

Доказательство. Если , то равенство следует из свойства 2. Если , то так как , то отсюда ■

36.

П.4 Оценки интегралов

Теорема Если функция и интегрируема на отрезке , то .

Доказательство следует из того, что при условиях теоремы любая интегральная сумма ■

Следствие 1 (о монотонности интеграла) Если функции и интегрируемы на отрезке и если , то

.

Доказательство следует из того, что при условиях теоремы при любом разбиении ■

Следствие 2 Пусть функция интегрируема на отрезке и . Тогда выполняется неравенство:

.

Доказательство. . Левая часть неравенства доказывается аналогично ■

Теорема Если функция интегрируема на отрезке , то функция тоже интегрируема на и верна оценка:

.

Доказательство. Воспользуемся неравенством:

.

Тогда при любом разбиении .

Если при , то и . Значит, интегрируема на .

Рассмотрим неравенство .

Перейдем в нем к пределу при . Так как левая часть неравенства стремится к , а правая – к , то получим то, что и требовалось доказать ■