31. П.4 Интегрирование тригонометрических функций
Интеграл вида
,
где
рациональная
функция переменных
и
,
можно свести к интегралу от рациональной
функций с помощью подстановки:
,
так как
.
Эта подстановка называется универсальной тригонометрической подстановкой.
В частных случаях удобнее пользоваться другими подстановками:
Если
,
то
;
если
,
то
;
если
,
то
или
.
Далее указаны некоторые интегралы и подстановки, которые сводят интегралы от иррациональных функций к интегралам от тригонометрических функций.
или
или
или
32.
п.2 Определение интеграла Римана
Пусть функция
определена на отрезке
.
Разбиением
Т отрезка
называется множество точек
,
таких, что
.
Обозначим
– частичный
отрезок разбиения,
– длину
того
отрезка разбиения.
назовем мелкостью
разбиения Т.
Возьмем на каждом отрезке разбиения
произвольную точку
.
Получим разбиение с отмеченными точками.
Сумма
называется
интегральной
суммой для
функции
при заданном разбиении Т
и фиксированных
отмеченных точках
.
О. Число
I
называется
определенным
интегралом от функции
по отрезку
,
если для
такое, что для любого разбиения Т,
мелкость которого
меньше
,
и при любом выборе отмеченных точек
выполняется неравенство:
.
Обозначается
определенный интеграл
.
Данное определение
интеграла означает, что число I
является
пределом интегральных сумм
при мелкости
разбиения
,
стремящейся к нулю, т.е.
,
причем предел этот не зависит от выбора
отмеченных точек
.
Если для функции существует число I, то функцию называют интегрируемой (по Риману) на отрезке , и говорят, что существует интеграл от функции на отрезке .
33.
П.2 Определение интеграла Римана
Пусть функция определена на отрезке . Разбиением Т отрезка называется множество точек , таких, что . Обозначим – частичный отрезок разбиения, – длину того отрезка разбиения. назовем мелкостью разбиения Т. Возьмем на каждом отрезке разбиения произвольную точку . Получим разбиение с отмеченными точками.
Сумма называется интегральной суммой для функции при заданном разбиении Т и фиксированных отмеченных точках .
О. Число I называется определенным интегралом от функции по отрезку , если для такое, что для любого разбиения Т, мелкость которого меньше , и при любом выборе отмеченных точек выполняется неравенство:
.
Обозначается определенный интеграл .
Данное определение интеграла означает, что число I является пределом интегральных сумм при мелкости разбиения , стремящейся к нулю, т.е. , причем предел этот не зависит от выбора отмеченных точек .
Если для функции существует число I, то функцию называют интегрируемой (по Риману) на отрезке , и говорят, что существует интеграл от функции на отрезке .
35. П.1 Другая формулировка критерия интегрируемости
В параграфе 3 был сформулирован критерий интегрируемости функции:
интегрируема на
отрезке
ограничена на
и выполняется условие:
при
.
Обозначим
.
Величину
называют колебанием
функции
на отрезке
.
Тогда критерий интегрируемости запишется
в виде:
интегрируема на
отрезке
ограничена на
и выполняется условие:
при
.
Очевидно,
.
Далее будем рассматривать только ограниченные функции.