9.6 Асимптоты

О. Если или , то прямая называется вертикальной асимптотой графика функции .

Например, для функций прямая –вертикальная асимптота, для функции прямые являются вертикальными асимптотами.

Вертикальные асимптоты следует искать в точках разрыва функции или в граничных точках области определения.

О. Прямая называется асимптотой графика функции при , если .

Если , то асимптота называется наклонной.

Если , то асимптота называется горизонтальной.

Например, для функций прямая – горизонтальная асимптота, для функции прямые являются горизонтальными асимптотами.

Теорема Прямая является асимптотой графика функции при тогда, и только тогда, когда существуют и конечны оба предела: и .

9.7 Схема исследования функции

1) Найти область определения функции . Выяснить, является ли функция четной, нечетной, периодической.

2) Найти точки пересечения графика функции с осями координат и промежутки знакопостоянства (т.е. промежутки, на которых и ).

3) Найти асимптоты графика функции. Найти односторонние пределы в точках разрыва и граничных точках области определения.

4) Вычислить производную функции. Найти промежутки возрастания и убывания, экстремумы функции.

5) Вычислить вторую производную функции. Найти промежутки выпуклости вверх и вниз, точки перегиба.

6) Изобразить график функции.

28. Таблица простейших интегралов

,

,

,

,

,

,

Примеры 1) ;

2) ;

3) ;

4) .

29. П.1 Интегрирование рациональных функций

Из курса алгебры известно, что любой многочлен с действительными коэффициентами можно разложить на множители:

, (1)

где R, R.

А также известно, что всякая функция вида , где и многочлены с действительными коэффициентами степени и соответственно и , т.е. правильная рациональная дробь, представляется в виде суммы простых дробей вида:

N, N, . (2)

А именно, если представим в виде (1), то

.

Коэффициенты во всех дробях разложения находятся методом неопределенных коэффициентов.

Если дробь является неправильной (т.е. ), то разделив числитель на знаменатель эту дробь можно записать в виде: , где многочлен, правильная дробь. Например, .

Обратимся теперь к интегрированию рациональных дробей вида (2).

Если , то ,

а если , то .

Обозначим .

Выделим в знаменателе полный квадрат:

, где .

Обозначим , получим

. Теперь

.

Если , то .

Если , то вычисляется по рекуррентной формуле:

.

30. П.3 Интегрирование иррациональных функций

Многие интегралы от иррациональных функций удается преобразовать в интегралы от рациональных функций с помощью различных подстановок.

I. Интегралы вида , где Q, R, , некоторая рациональная функция.

Такие интегралы сводятся к интегралам от рациональных функций с помощью подстановки:

, где общий знаменатель чисел .

II. Интегралы вида , где .

Такие интегралы сводятся к интегралам от рациональных функций с помощью подстановок Эйлера:

1) ;

2) ;

3) , где один из корней квадратного трехчлена .

Подстановки Эйлера обычно приводят к громоздким вычислениям. Поэтому для интегралов вида II иногда применяют другие методы. Например, интегралы вида , где многочлен степени n, следует представить в виде:

,

где коэффициенты и находят методом неопределенных коэффициентов (сначала надо продифференцировать обе части последнего равенства, а затем умножить его на и приравнять коэффициенты при равных степенях .

Интегралы вида подстановкой сводятся к интегралам предыдущего вида.

III. Интегралы вида , где R, Q, называются интегралами от дифференциального бинома.

Такие интегралы сводятся к интегралам от рациональных функций подстановками в трех случаях:

1. если Z, то , где общий знаменатель чисел и ;

2. если Z, то , где знаменатель числа ;

3) если Z, то , где знаменатель числа