20.

7 Формула Тейлора

О. Пусть имеет в точке производные до k-го порядка, тогда многочлен

называется многочленом Тейлора п-го порядка для функции в точке .

Теорема 1 Пусть , такое, что имеет в -окрестности точки производные до -го порядка включительно. Тогда , такая, что

.

Функцию называют остаточным членом формулы Тейлора в форме Лагранжа.

Теорема 2 Если существует , то

при .

Последнюю формулу называют формулой Тейлора с остаточным членом в форме Пеано.

Равенство при называют формулой Маклорена.

22.

8 Правило Лопиталя

Теорема 1 Пусть и дифференцируемы на интервале , , , и существует конечный или бесконечный . Тогда тоже существует и равен А, т.е. .

Доказательство. Пусть . Доопределим и в точке а, полагая и . Тогда получим, что и непрерывны на отрезке . По обобщенной формуле Коши конечных приращений, такая, что

.

Если , то . Значит, .

Тогда .■

Замечание. Утверждение теоремы справедливо и при , и при , и при .

Теорема 2 Пусть 1) и дифференцируемы при , причем при ;

2) , ;

3) существует конечный .

Тогда существует .

Замечание. Правило Лопиталя служит для раскрытия неопреде-ленностей вида и . Иногда к этим неопределенностям удается свести неопределенности .

24.

9.4 Выпуклость функции

О. Функция называется выпуклой вверх на отрезке , если выполняется неравенство: .

То есть для любых двух точек и графика функции середина хорды лежит ниже соответствующей точки графика.

О. Функция называется выпуклой вниз на отрезке , если выполняется неравенство: .

Теорема (достаточное условие выпуклости) Пусть существует на отрезке , а – на интервале . Тогда

а) если , то выпукла вниз на отрезке ; б) если , то выпукла вверх на отрезке .

Замечание. а) если , то строго выпукла вниз на отрезке ; б) если , то строго выпукла вверх на .

9.5 Точки перегиба

О. Пусть непрерывна в точке и имеет в этой точке конечную или бесконечную производную. Тогда если при переходе через точку меняет направление выпуклости, т.е. такое, что на одном из интервалов , она выпукла вверх, а на другом выпукла вниз, то называется точкой перегиба функции .

Например, для – точка перегиба.

Теорема (необходимое условие точки перегиба) Если точка перегиба функции и в некоторой окрестности , непрерывная в точке , то .

Доказательство. Допустим, . Например, . Так как непрерывна в точке , то . Значит, выпукла вниз в окрестности . Но это противоречит определению точки перегиба. ■

Теорема (достаточное условие точки перегиба) Если непрерывна в точке , имеет в точке и при переходе через точку меняет знак, то – точка перегиба функции .

9.6 Асимптоты

О. Если или , то прямая называется вертикальной асимптотой графика функции .

Например, для функций прямая –вертикальная асимптота, для функции прямые являются вертикальными асимптотами.

Вертикальные асимптоты следует искать в точках разрыва функции или в граничных точках области определения.

О. Прямая называется асимптотой графика функции при , если .

Если , то асимптота называется наклонной.

Если , то асимптота называется горизонтальной.

Например, для функций прямая – горизонтальная асимптота, для функции прямые являются горизонтальными асимптотами.

Теорема Прямая является асимптотой графика функции при тогда, и только тогда, когда существуют и конечны оба предела: и .

25.