18. Выпуклость графика функции. Точки перегиба графика.

Определение 1. График функции y=f(x) называется выпуклым (вогнутым) на интервале (a,b), если касательная к графику, проведенная в любой точке этого интервала, расположена над (под) графиком функции.

                  Выпуклый график,                 Вогнутый график,

                         <0.                                >0.

Теорема 1. Если вторая производная дважды дифференцируемой функции на некотором интервале отрицательна (положительна), то график функции на данном интервале выпуклый (вогнутый).

Верна и обратная теорема.

Определение 2. Точки, в которой график функции меняет направление выпуклости, называют точками перегиба  графика функции.

                                                                                                                   

      рис17                                                                                                                                                                                                                                              

 

Точка a является точкой перегиба, а точка c нет, так как в этой точке функция не дифференцируема.

Теорема 2. (необходимый признак точки перегиба). Если точка х₀ является точкой перегиба графика дважды дифференцируемой функции, то в этой точке вторая производная равна нулю:  =0.

Определение 3. Точки, в которых вторая производная равна нулю или не существует, называются критическими точками второй производной. Если функция имеет точки перегиба, то они могут быть только в критических точках.

Теорема 3 (достаточный признак точки перегиба). Если вторая производная дважды дифференцируемой функции в некоторой точке равна нулю и при переходе через нее вторая производная меняет знак, то данная точка является точкой перегиба.

19. Асимптоты графика функции.

Графики некоторых функции расположены на плоскости так, что они неограниченно приближаются к некоторой прямой. Эти прямые называются асимптотами к графику функции.

Определение 1. Прямая х=а называется вертикальной асимптотой к графику функции y=f(x), если хотя бы один из односторонних пределов  ,   равен + или -.

Как правило, в точке а функция терпит разрыв второго рода.

Определение 2. Прямая у=b называется горизонтальной асимптотой к графику функции y=f(x), если  .

Определение 3. Прямая у=kx+b называется наклонной асимптотой к графику функции y=f(x), если функцию можно представить в виде f(x)=kx+b+ , где   - б.м. при  .

Найдем параметры наклонной асимптоты.

1.      Найдем  k.

f(x)=kx+b+ .

Разделим обе части равенства на х.

.

Переходя к пределу при  , получим

,

.

2.      Найдем b.

f(x)=kx+b+ ,

b+ = f(x)-kx.

Переходя к пределу при  , получим

.

Если  k=0  и  b0, то наклонная асимптота становится горизонтальной.

Пример.   .

,

,

х=1 – вертикальная асимптота.

,

горизонтальной асимптоты нет.

k= ,

b= ,

y=3x+3 – наклонная асимптота.

 

 

    рис18