16. Возрастание и убывание функций.

Определение. Числовая функция y=f(x) называется монотонно возрастающей (убывающей) на множестве АD(f), если большему значению аргумента соответствует большее (меньшее) значение функции:

x₁, x₂А D(f) : x₁>x₂ f(x₁)>f(x₂)    ( f(x₁)<f(x₂) ).

Из определения следует, что если функция возрастает (убывает), то

Приращение функции и приращение аргумента возрастающей (убывающей) функции имеют одинаковые (противоположные) знаки.

Теорема 1. Если дифференцируемая функция возрастает (убывает) на некотором интервале, то в каждой точке этого интервала производная этой функции неотрицательна (неположительна).

Доказательство. Пусть функция y=f(x) дифференцируема на интервале (a,b). Возьмем произвольную точку   и дадим в ней аргументу приращение  x так, что :

.

Переходя к пределу в этом неравенстве при  , получим

.

Теорема 2. Если производная функции на некотором интервале неотрицательна (неположительна), то на этом интервале функция возрастает (убывает).

17. Экстремумы функции.

Пусть функция y=f(x) определена на интервале (a,b).

Определение 1. Точка х₀(a,b) называется точкой локального максимума (минимума) функции, если найдется некоторая окрестность этой точки, для всех точек которой будет выполняться условие:

     ( ).

Точки локального максимума и минимума называют точками экстремума.

Теорема 1 (необходимый признак экстремума функции). Если точка х₀ является точкой локального максимума (минимума) функции, то производная в этой точке равна нулю или не существует.

Доказательство. Пусть функция y=f(x)  дифференцируема на (a,b),  найдется число  такое, что:

    .

Дадим аргументу приращение x>0 так, что  

.

Переходя к пределу при  , получим

.

Дадим аргументу приращение x<0  так, что  

.

Переходя к пределу при  , получим

.

Эти неравенства выполняются одновременно только в двух случаях:              а)  ,

            b)   не существует.

Следствие. В точке экстремума касательная:

a)  либо параллельна оси ОХ,

b)   либо не существует.

 

 

 

 

 

Рис 14 

 

Данный признак не является достаточным для существования экстремума, т.е. из того, что производная равна нулю или не существует в некоторой точке, не следует, что в этой точке есть экстремум.

 

             

Рис 15 рис 16                 

 

Точки, в которых первая производная равна нулю или не существует, называют критическими точкамипервой производной. Если функция имеет экстремумы, то они могут быть только в критических точках.

Пусть функция y=f(x) определена и непрерывна в некоторой окрестности точки х₀ и дифференцируема в этой окрестности (за исключением, быть может, точки х₀).

Теорема 2 (достаточный признак экстремума). Если первая производная функции в точке х₀ равна нулю или не существует и при переходе через нее производная меняет знак, то данная точка является точкой экстремума, причем если знак меняется с ''+'' на ''-'', то это точка максимума, с ''-'' на ''+'' – точка минимума.

Доказательство. Пусть в точке х₀ производная дифференцируемой функции  равна нулю или не существует и при переходе через нее производная меняет знак  с ''+'' на ''-''.

    возрастает на 

                                                                                                                    

    убывает на     

 

.

Следовательно, х₀ - точка максимума. Случай минимума рассматривается аналогично.