9. Производная. Геометрический смысл производной.

Производная

 

Пусть функция у=f(x) определена и непрерывна на (a,b), пусть  . Дадим в точке х₀приращение аргументу х так, что точка х₀+х . Тогда функция получит соответствующее приращение у=f(x₀+x)-f(x₀).

Определение 1. Производной функции в данной точке называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента, когда приращение аргумента стремится к нулю, если этот предел существует и конечен. Функция называется дифференцируемой в точке х₀.

.

Определение 2. Функция называется дифференцируемой на множестве АR, если она дифференцируема в каждой точке множества А.

Геометрический смысл производной

 

О пределение 1. Касательной к плоской кривой называется предельное положение секущей, когда вторая точка пересечения неограниченно приближается по кривой к первой точке.

Пусть функция у=f(x) определена и непрерывна на (a,b),  . Дадимприращение аргументу х так, что точка х₀+х . Функция получит приращение у=f(x₀+x)-f(x₀).

Проведем секущую к графику через точки А(х₀ , f(x₀)),   В(x₀+x, f(x₀+x)).

 

                 рис 11       

 

  

Рассмотрим ABC.   ,    .

При 

,

секущая стремится к касательной,

,

,

.

Переходя к пределу при    в равенстве   , получим

.

 

Производная функции в точке равна тангенсу угла наклона касательной, проведенной к графику функции в данной точке.

10. Связь между непрерывностью и дифференцируемостью функции.

Теорема (необходимое условие дифференцируемости функции). Если функция дифференцируема в точке, то она непрерывна в этой точке.

Доказательство. Пусть функция у=f(x) дифференцируема в точке х₀. Дадим в этой точке аргументу приращение х. Функция получит приращение у. Найдем  .

.

Следовательно, у=f(x) непрерывна в точке х₀.

Следствие. Если х₀ – точка разрыва функции, то в ней функция не дифференцируема.

Утверждение, обратное теореме, не верно. Из непрерывности не следует дифференцируемость.

Пример. у=|х| , х₀=0.

 

    рис 12        

 

 

х>0,              ;

х<0,              .

В точке х₀=0 функция непрерывна, но производной не существует.

11. Свойства производных.

Теорема 1. Производная постоянной функции равна нулю.

Доказательство. f(x)=c,x₀ y=f(x₀+x) - f(x₀)=c-c=0,

.

Теорема 2. Если функции u, v, w дифференцируемы в некоторой точке, то и их алгебраическая сумма также дифференцируема в этой точке, причем производная алгебраической суммы равна алгебраической сумме производных и выполняется равенство

.

Теорема 3. Если функции u и  v дифференцируемы в некоторой точке, то и их произведение также дифференцируемо в этой точке, причем выполняется равенство

.

Следствие. Постоянный множитель можно выносить за знак производной.

.

Теорема 4. Если функции u и  v дифференцируемы в некоторой точке и функция v в этой точке отлична от нуля, то существует производная частного в этой точке, причем

.

Теорема 5 (производная сложной функции). Если функции y=f(z) и   - дифференцируемые функции своих аргументов, то и их композиция является дифференцируемой функцией, причем производная сложной функции равна производной внешней функции по промежуточному аргументу, умноженной на производную промежуточного аргумента по независимой переменной.

.

Теорема 6 (теорема Лагранжа). Конечное приращение дифференцируемой функции равно произведению соответствующего приращения аргумента на производную функции в некоторой промежуточной точке.

.

Теорема 7 (теорема Ролля). Между двумя нулями дифференцируемой функции всегда найдется хотя бы один ноль производной.

Доказательство. Пусть f(x₁)=f(x₂)=0. Из теоремы Лагранжа следует, что найдется точка с,   , такая, что

 =>   .

Две последние теоремы носят название теорем о конечных приращениях.