7. Непрерывность функции. Свойства функций, непрерывных на множестве.

 

Пусть функция y=f(x) определена в некоторой окрестности точки х₀.

Определение 1. Функция y=f(x) называется непрерывной в точке х₀, если для любого   найдется  такое, что при всех х, удовлетворяющих неравенству  , будет выполняться неравенство

.

Определение 2. Функция y=f(x) называется непрерывной на множестве АR, если она непрерывна в каждой точке множества А.

Сравнивая определение 1 с определением предела функции, можно получить, что функция y=f(x)непрерывна в точке х₀ тогда и только тогда, когда ее предел при  x  х₀  равен значению функции в этой точке:

.

Определение 3. Приращением аргумента называется разность двух значений переменной х и обозначается х. Приращением функции, соответствующим данному приращению аргумента, называется разность двух значений функции от соответствующих аргументов и обозначается у:

х=х-х_{0 ,}      у=f(x)-f(x₀).

Из определения 1 следует:

   , для   будет выполняться  , т.е.

.

Таким образом, функция непрерывна в точке тогда и только тогда, когда малому приращению аргумента соответствует малое приращение функции.

Свойства функций, непрерывных на множестве

 

Теорема 1. Сумма и произведение конечного числа непрерывных на некотором множестве функций есть функция, непрерывная на этом множестве.

Доказательство (следует из основных теорем о пределах).

Пусть f(x) и g(x) – непрерывны в точке х₀ , тогда

,    ,

.

Следовательно, функция y=f(x)+g(x) непрерывна в точке х₀.

Доказательство для произведения функций проводится аналогично.

Теорема 2. Частное от деления двух непрерывных на множестве функций есть функция, непрерывная во всех точках, в которых знаменатель отличен от нуля.

Теорема 3 (теорема Вейерштрасса). Всякая непрерывная на замкнутом ограниченном множестве функция достигает на нем своего наибольшего и наименьшего значений.

8. Точки разрыва функции.

Функция является непрерывной в точке, если

   = .

Определение 1. Точки, в которых нарушается условие непрерывности, называют точками разрыва функции.

Определение 2. Точка разрыва х₀ называется точкой разрыва первого рода, если существуют конечные односторонние пределы в этой точке.

Определение 3. Точка разрыва первого рода называется точкой устранимого разрыва, если односторонние пределы в этой точке равны.

Определение 4. Скачком функции в точке разрыва первого рода называется модуль разности односторонних пределов в этой точке.

Определение 5. Точка х₀  называется точкой разрыва второго рода, если она не является точкой разрыва первого рода (если хотя бы один из односторонних пределов не существует или равен +(-)).

Пример 1.  ,

,

х=3 – точка устранимого разрыва.

Функцию можно доопределить до

непрерывной функции:

  y=x+3  - непрерывная функция.

 

 

Рис 8

Пример 2. y=[x] – целая часть числа.

Рассмотрим точку х=1.

,

.

Следовательно, х=1 – точка разрыва первого рода, скачок в ней равен единице.

 

 

 

         рис 9                          

  

Пример 3. Рассмотрим  функцию    в точке  х=0.

0,                        +,

                                        

Следовательно, х=0 – точка разрыва второго рода. 

 

       рис 10