4. Сравнение бесконечно малых функций.

Пусть   б.м. функции  при  . Предположим, что существует предел их отношения и он равен l.

.

Тогда если:

1)   l=1, то функции   и   называются эквивалентными б.м.;

2)   l - число, l0, то функции   и   называются б.м. одинакового порядка;

3)  l=0, то функция   называется б.м. более высокого порядка, чем  ;

4)  l= , то функция   называется б.м. более высокого порядка, чем  .

Пример 1.  ,   , рис 5

,

 и   - эквивалентные б.м. функции.

Пример 2.   =х³,

=х,

,

, рис 6

 - б.м. функция более высокого порядка, чем  .

5. Основные теоремы о пределах.

Теорема 1. (о предельном переходе в равенстве) Если две функции принимают одинаковые значения в окрестности некоторой точки, то их пределы в этой точке совпадают.

   .

Теорема 2. (о предельном переходе в неравенстве) Если значения функции f(x) в окрестности некоторой точки не превосходят соответствующих значений функции g(x) , то предел функции f(x) в этой точке не превосходит предела функции g(x).

   .

Теорема 3. Предел постоянной равен самой постоянной.

.

Доказательство. f(x)=с,    докажем, что     .

Возьмем  произвольное >0. В качестве  можно взять любое

положительное число. Тогда при 

.

Теорема 4. Функция не может иметь двух различных пределов в

одной точке.

Доказательство. Предположим противное. Пусть

  и   .

По теореме о связи предела и бесконечно малой функции:

f(x)-A=  - б.м. при  ,

f(x)-B=  - б.м. при  .

Вычитая эти равенства, получим:

 B-A= - .

Переходя к пределам в обеих частях равенства при  , имеем:

B-A=0, т.е. B=A. Получаем противоречие, доказывающее теорему.

Теорема 5. Если каждое слагаемое алгебраической суммы функций имеет предел при  , то и алгебраическая сумма имеет предел при  , причем предел алгебраической суммы равен алгебраической сумме пределов.

.

Доказательство. Пусть  ,   ,    .

Тогда, по теореме о связи предела и б.м. функции:

 где   - б.м. при .

Сложим алгебраически эти  равенства:

f(x)+g(x)-h(x)-(А+В-С)= ,

где  б.м. при   .

По теореме о связи предела и б.м. функции:

А+В-С= .

Теорема 6. Если каждый из сомножителей произведения конечного числа функций имеет пределпри  , то и произведение имеет предел при , причем предел произведения равен произведению пределов.

.

Следствие. Постоянный множитель можно выносить за знак предела.

.

Теорема 7. Если функции f(x) и g(x) имеют предел при  ,

причем  , то и их частное имеет предел при  , причем предел частного равен частному пределов.

,   .

6. Признаки существования предела.

Теорема 1 (теорема о двух милиционерах). Если функция y=f(x) в некоторой окрестности точкиа заключена между двумя функциями   и  , т.е. выполняется неравенство   х, причем эти функции имеют одинаковый предел при , то существует предел функции y=f(x) при , равный этому же значению.

,

  =>  .

                                                                            рис 7

                                                                                             

                                                                                             

Теорема 2.  Если функция y=f(x) монотонно возрастет (убывает) в некоторой окрестности  точки аи ограничена сверху (снизу), то она имеет предел при .