31. Частные производные высших порядков.

Рассмотрим функцию двух переменных n=2,  . Предположим, что функция имеет частные производные

,                        ,

которые являются функциями двух переменных. Их называют частнымипроизводными первого порядка. Предположим, что они дифференцируемы.

Определение 1. Частные производные от частных производных первого порядка называются частными производными второго порядка.

 =  ,                         =  .

 =  ,                        =  .

 

Две последние называют смешанными производными.

Если полученные функции являются дифференцируемыми, то частные производные от них называются частными производными третьего порядка. Например:

.

 

Определение 2. Частной производной n-го порядка называется частная производная от частной производной (n-1)-го порядка. Частных производныхn-го порядка от функции двух переменных 2ⁿ штук.

Частная производная порядка р функции   имеет вид

, где  .

Теорема. Если частные производные первого порядка некоторой функции непрерывно дифференцируемы, то результаты смешанного дифференцирования равны.

.

Пример.  .

,                 ,

,  ,     ,  ,

.

31. Экстремумы функций многих переменных. Глобальный максимум.

Экстремумы функций многих переменных

 

Рассмотрим функцию двух переменных n=2,  .

Определение 1. Точка (x₀, y₀)R² называется точкой локального максимума (минимума) функции, если найдется некоторая окрестность данной точки, для всех точек которой выполняется условие   ( ).

Определение 2. Точки локального максимума и минимума называются точками экстремума.

Теорема 1 (необходимое условие экстремума функции). Если точка (x₀, y₀) является точкой локального экстремума функции, то в этой точкечастные производные равны нулю или не существуют.

Доказательство. Пусть (x₀, y₀) R² - точка экстремума функции. Зафиксируем y₀ и рассмотрим функцию одной переменной.

.

Точка х₀ является точкой локального экстремума функции  , следовательно, в этой точке производная   или не существует, тогда частная производная   равна нулю или не существует.

Аналогично доказывается, что   или не существует.

Определение 3. Точки, в которых частные производные равны нулю или не существуют, называются стационарными точками функции многих переменных.

Необходимое условие экстремума не является достаточным, т. е. не каждая критическая точка является точкой экстремума. Например, функция   имеет частные производные

,            .

В точке (0,0) частные производные функции равны нулю, однако в этой точке у функции нет экстремума. Данная точка является седловой точкой графика.

 

рис 58

 

Теорема 2 (достаточное условие экстремума функции). Пусть функция z=f(x,y) определена в некоторой окрестности критической точки (x₀,y₀), в которой частные производные равны нулю:

,                ;

в этой точке функция имеет непрерывные частные производные второго порядка

,  ,  .

Тогда если =AC-B²>0, то в точке (x₀, y₀) функция имеет экстремум,причем если А<0 - максимум, если А>0 - минимум. В случае =AC-B²<0 функция экстремума не имеет. Если =AC-B =0 , то вопрос о наличии экстремума остается открытым.

Глобальный максимум

 

Определение. Точка (x₀, y₀) называется точкой абсолютного (глобального) максимума (минимума) на множестве АR², если значение функции в этой точке больше (меньше) значения функции в любой точке множества А.

Теорема (теорема Вейерштрасса). Если функция многих переменныхнепрерывна на замкнутом ограниченном множестве, то она достигает на нем своего глобального максимума и глобального минимума.

Если множество ограничено и замкнуто, то глобальные максимум и минимум непрерывной функции расположены либо в точках границы множества, либо в стационарных точках функции.