31. Полный дифференциал.

Определение. Полным дифференциалом функции многих переменных называется главная линейная относительно приращений аргументов часть малого полного приращения функции.

Рассмотрим функцию двух переменных n=2; z=f(x,y). Если приращение функции   можно представить в виде

,

где  - бесконечно малые функции при  , соответственно, то выражение   называется полным дифференциалом функции двух переменных.

Теорема. Полный дифференциал равен сумме попарных произведенийчастных производных на дифференциалы соответствующих переменных.

.

Пример.  .

31. Производная по направлению.

Рассмотрим функцию двух переменных n=2; z=f(x, y). Под направлением мы будем понимать любой вектор   на плоскости.

Рис 54

 Определение 1. Направляющими косинусами данного направления   называются косинусы углов, которые данное направление образуют с положительными направлениями осей координат. Направляющие косинусы данного направления - .

Направляющие косинусы любого направления в любом пространстве обладают следующим свойством: сумма квадратов направляющих косинусов равна единице.

.

На плоскости имеем

.

.

Если рассмотреть вектор  , координатами которого являются направляющие косинусы данного направления, то этот вектор сонаправлен с вектором   и имеет единичную длину.

Пусть даны точка   и направление  . Переместим точку М₀вдоль направления   на величину l в точку М₁. Тогда функция и аргумент получат соответствующие приращения.

Рис 55

Функция получит приращение, которое называется приращением функции в данном направлении:  ,

Из треугольника М₀ М₁ А:              .

Из треугольника  М₀ М₁ В:             .

.

Определение 2. Предел отношения приращения функции в данном направлении к приращению направления, когда приращение направления стремится к нулю, называется производной функции в данном направлении (если этот предел существует и конечен);

.

Если направление   совпадает с направлением оси ОХ, то производная по направлению совпадает с частной производной по переменной х.Аналогично производная по направлению оси ОУ совпадает с частной производной по переменной у.

Теорема. Производная по направлению равна сумме попарных произведений частных производных в данной точке на направляющие косинусы данного направления.

                                             .

Пример. Найти производную функции   в точке М(1, 2) в направлении  (4, -3).

            

.

31. Градиент функции многих переменных.

Рассмотрим функцию трех переменных n=3, u=f(x, y, z).

Определение. Градиентом функции многих переменных в данной точке называется вектор, координаты которого равны частным производным по соответствующим аргументам, вычисленным в данной точке.

.

Теорема 1. Производная функции в данном направлении равна проекции градиента на данное направление.

Доказательство. Даны функция u=f(x,y,z) и некоторое направление l, заданное направляющими косинусами  .

Единичный вектор данного направления -  .

Производная по направлению в данной точке равна

,

где  - угол между градиентом и направлением.

                                                                                             

рис 56

.

Следствие. Градиент функции в данной точке показывает направление наискорейшего возрастания функции. Модуль градиента совпадает с максимальной скоростью возрастания функции в данной точке.

Доказательство. Из теоремы следует, что

.

Выясним, в каком из направлений в данной точке функция растет быстрее всего. Максимум будет достигаться, когда  , т. е. направление совпадает с направлением градиента.

.

Рассмотрим функцию двух переменных n=2,  .

Теорема 2. Градиент функции в каждой точке области определения направлен по нормали к линии уровня (нормалью к плоской кривой называется перпендикуляр к касательной, проведенной в точку касания).

                                  

 Рис 57