31. Понятие функции многих переменных. Непрерывность функции многих переменных. Понятие функции многих переменных

 

Пусть даны множества D  Rⁿ и I  R.

Определение 1. Если каждой точке   множества Dставится в соответствие единственное число у из I, то говорят, что задана функция n переменных у=f(x₁, …, x_n). Множество D называется областью определения функции D(у)=D, множество I называется множеством значений функции I (у)= I.

Если зафиксировать любые n-1 переменные, то функция многих переменных превращается в функцию одной переменной. x₂=с₂, x₃=с₃, …,х_n=c_n; y=f(x₁, c₂, …, c_n) - функция одной переменной х₁.

Пример.   - функция двух переменных,

- функция трех переменных.

Определение 2. Графиком функции двух переменных z=f(x, y)называется множество точек (х, у, z) 3-мерного пространства, таких, что (х, у) D(z) и z=f(x, y). Любую точку графика можно записать в виде (х, у, f(x, y)).

      

 

  Рис 51

 

Определение 3. Графиком функции n переменных называется n-мерная гиперповерхность в пространстве R^n +1, точки которой имеют вид

(х₁, х₂, …, х_n, f(x₁, х₂, …, x_n)).

Определение 4. Линией уровня функции двух переменных называется линия на плоскости XOY, принадлежащая D(z), в каждой точке которой функция принимает одно и то же значение.

Уравнение линии уровня: f(x, y)=c, где с - произвольное число. На данной линии уровня значение функции z=c. Линий уровня бесконечно много, и через каждую точку области определения можно провести линию уровня.

Пример. z(x,y)= ,

D(z)= R²\{(1,1)}.

 

      

 Рис 52

 

c=1,  , z=1.

c=4,  , z=4.

c=9,  , z=9.

Используя линии уровня, можно построить график функции.

 

рис 53

Определение 5. Поверхностью уровня функции n переменных y=f(х₁, х₂, …, х_n) называется гиперповерхность в пространстве Rⁿ, входящая в D(у), в каждой точке которой значение функции одно и то же. Уравнение поверхности уровня f(х₁, х₂, …, х_n)=с. На поверхности уровня значение функции постоянно: у=с.

Непрерывность функции

многих переменных

 

Рассмотрим функцию двух переменных n=2; z=f(x,y). Возьмем точку(х₀,у₀) D(у)  R². Дадим аргументу х в данной точке приращение  , зафиксировав у₀. Выражение

z=f(x₀+ ,y₀) - f(x₀,y₀)

называется частным приращением функции по переменной х. Аналогично, фиксируя х₀ и давая аргументу у приращение  , мы получим частное приращение по переменной у.

z=f(x₀,y₀+ ) - f(x₀, y₀).

Выражение

z=f(x₀+ , y₀ + ) - f (x₀, y₀)

называется полным приращением функции.

Определение 1. Функция z=f(x, y) называется непрерывной в точке

(x₀, y₀) D(у), если она определена в этой точке и малым приращениям аргументов соответствует малое полное приращение функции.

.

Определение 2. Функция z=f(x, y) называется непрерывной намножестве А D(z), если она непрерывна в каждой точке этого множества.

31. Частные производные функции многих переменных.

Рассмотрим функцию двух переменных n=2; z=f(x,y).

Определение. Частной производной функции z=f(x,y) в точке (x₀, y₀) D(у) по соответствующей переменной называется предел отношения частного приращения функции по этой переменной к приращению этой переменной, когда приращение переменной стремится к нулю (если этот предел существует и конечен).

,

.

При введении частной производной по любой переменной остальные переменные были фиксированы. Данное определение совпадает с определением производной функции одной переменной. Следовательно, частную производную можно найти, зафиксировав все переменные, кроме одной, считая их постоянными. Производная находится как производная функции одной переменной, т.е.  . Все правила и формулы, справедливые для производной функции одной переменной, остаются справедливыми и для частных производных.

Пример 1. 

 

 

Пример 2.