31. Гипербола. Парабола.

Гипербола

 

Определение 1. Геометрическое место точек, разность расстояний от каждой из которых до двух данных точек, называемых фокусами, есть величина постоянная, называется гиперболой.

 - каноническое уравнение гиперболы.

Исследуем форму гиперболы.

1. Найдем точки пересечения с осями.

OX: y = 0,  ,  ,    A(a;0) ,    B(-a;0).

OY: x = 0,     ,         .

Определение 2. Точки A и B называются вершинами гиперболы.

2. Из вида уравнения следует, что линия симметрична относительно осей OX, OY и начала координат.

3.        .

Следовательно, кривая расположена вне прямоугольника со сторонами 2а и 2b.

Построим данную кривую.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 Рис 48

Определение 3. Параметр a называется действительной полуосью гиперболы, а параметр b называется мнимой полуосью.

Определение 4. Прямые   называются асимптотами гиперболы.

При возрастании х гипербола неограниченно приближается к асимптотам.

Определение 5. Отношение фокусного расстояния гиперболы к ее действительной оси называется эксцентриситетом.

.

Определение 6. Кривые эллипс, гипербола, окружность называются кривыми второго порядка с эксцентриситетом, причем для окружности  , для эллипса   и для гиперболы  . При   гипербола вырождается в две параллельные прямые.

Парабола

 

Определение 1. Геометрическое место точек, равноудаленных от данной точки, называемой фокусом, и данной прямой, называемой директрисой, именуется параболой.

- каноническое уравнение параболы с вершиной в начале координат, симметричной относительно оси OX.

Исследуем форму параболы.

1. Найдем точки пересечения с осями.

OX, OY:         y = 0, х=0, О(0;0).

Определение 2. Точка A называется вершиной параболы.

2. Из вида уравнения следует, что линия симметрична относительно осиOX.

3.  . Следовательно, кривая расположена правее оси OY.

Построим данную кривую.

 

Рис 49

Если парабола симметрична относительно OY и имеет вершину в начале координат, то ее каноническое уравнение имеет вид  .

 

                                                    

                                                                                                                                

                                         Рис50                                                                                       

31. Решение систем линейных неравенств.

Определение 1. Совокупность точек пространства Rⁿ, координаты которых удовлетворяют уравнению а₁х₁+ а₂х₂+…+a_nx_n = b, называется (n - 1)-мерной гиперплоскостью в n-мерном пространстве.

Пример. n=2                         ,          - уравнение прямой на плоскости.

 n=3            ,   - уравнение плоскости в пространстве.

Теорема 1. Гиперплоскость делит все пространство на два полупространства. Полупространство является выпуклым множеством.

Пересечение конечного числа полупространств является выпуклым множеством.

Теорема 2. Решением линейного неравенства с n неизвестными

а₁х₁+ а₂х₂+…+a_nx_n   b

является одно из полупространств, на которые все пространство делит гиперплоскость

а₁х₁+ а₂х₂+…+a_nx_n = b.

Рассмотрим систему из m линейных неравенств с n неизвестными.

Решением каждого неравенства системы является некоторое полупространство. Решением системы будет являться пересечение всех полупространств. Это множество будет замкнутым и выпуклым.