31. Угол между двумя прямыми. Условие параллельности и перпендикулярности прямых.

Определение 1. Углом между двумя прямыми I и II называется угол, отсчитываемый в положительном направлении от прямой I к прямой II.

            рис45                                                                                                                 

Пусть даны две прямые, заданные уравнениями с угловыми коэффициентами

y = k₁ · x + b₁,            y = k₂ · x + b₂.

Найдем угол между первой и второй прямыми. Обозначим углы наклона прямых _ и __.Тогда

k₁ = tg_,      k₂ = tg₂.

Проведем через точку пересечения прямую, параллельную оси OX.

 

 

 

 

 

 

 

 

 Рис46

 

- формула для вычисления угла между двумя прямыми.

1. Предположим, что прямые параллельны:

tg 

k₁ = k₂ - условие параллельности прямых.

2. Предположим, что прямые перпендикулярны:

⁰  tg не существует  ctg  = 0 

 k₁ · k₂ = -1 - условие перпендикулярности прямых.

31. Уравнение плоскости в пространстве.

Теорема. Всякое невырожденное уравнение первой степени с тремя переменными описывает некоторую плоскость в пространстве, и наоборот: всякая плоскость может быть описана таким уравнением.

Ax + By + Cz + D = 0 - общее уравнение плоскости,

A² + B² + C²  0 - условие невырожденности.

Рассмотрим различные случаи расположения плоскости в пространстве в зависимости от коэффициентов общего уравнения.

1.      D = 0,       Ax + By + Cz = 0      - проходит через начало координат;

A = 0,         By + Cz + D = 0       - параллельна оси ОХ;

B = 0,         Ax + Cz + D = 0       - параллельна оси OY;

C = 0,        Ax + By + D = 0       - параллельна оси OZ;

2.       A = D = 0, By + Cz = 0            - содержит OX;

B = D = 0,          Ax + Cz = 0   - содержит OY;

C = D = 0,          Ax + By = 0   - содержит OZ;

A = B = 0,           Cz + D = 0     - параллельна плоскости XOY;

A = C = 0,          By + D = 0     - параллельна плоскости XOZ;

B = C = 0,          Ax + D = 0     - параллельна плоскости YOZ;

3.      A = B = D = 0,    Cz = 0           - совпадает с плоскостью XOY;

A = C = D = 0, By = 0              - совпадает с плоскостью XOZ;

B = C = D = 0, Ax = 0              - совпадает с плоскостью YOZ.

Расстояние от точки M₀ (x₀, y₀, z₀) до плоскости, заданной общим уравнением  Ax + By + Cz+ D = 0, вычисляется по формуле

.

31. Уравнение прямой в пространстве.

31. Эллипс. Окружность. Эллипс

 

Определение 1. Геометрическое место точек, сумма расстояний от каждой из которых до двух данных точек, называемых фокусами, есть величина постоянная, называется эллипсом.

 - каноническое уравнение эллипса.

Исследуем форму эллипса.

1. Найдем точки пересечения с осями.

OX: y = 0,                   ;

OY: x = 0,                   ;

A(a; 0); B (-a; 0); C (0; b); D (0; -b).

Определение 2. Точки A, B, C, D называются вершинами эллипса.

2. Из вида уравнения следует, что линия симметрична относительно осей OX и OY и начала координат.

3.

                                     

Следовательно, кривая расположена в прямоугольнике со сторонами 2а и 2b.

Построим данную кривую.

Рис 47

                                                                  

Определение 3. Отношение фокусного расстояния к большой оси эллипса называется эксцентриситетом эллипса.

.

Определение 4. Параметр a называется большой полуосью эллипса, параметр b называется малой полуосью эллипса.

Окружность

 

Определение. Геометрическое место точек, расстояние от каждой из которых до данной точки О, называемой центром, есть величина постоянная, называется окружностью.

- каноническое уравнение окружности.

Окружность является частным случаем эллипса, когда большая и малая полуоси равны, с = 0, фокусы сливаются в центр. Эксцентриситет окружности равен нулю.

.