3. Бесконечно малые и бесконечно большие функции. Их свойства.

Определение 1. Функция   называется бесконечно малой (б.м.) функцией при  , если ее предел при  равен нулю.

 <=>    , для всех х, удовлетворяющих неравенству  , будет выполняться неравенство  .

Определение 2. Функция   называется бесконечно большой (б.б.) функцией при  , если ее предел при  равен + (-).

Пример. Функция    при     - б.м., при     - б.б., при   не является ни б.б. ни б.м.

Теорема 1 (о связи предела и бесконечно малой функции). Если функция   имеет предел  , то разность между функцией и значением предела есть функция, бесконечно малая при  .

Доказательство. Необходимо показать, что

 <=> f(x)-A  б.м. функция при  .

Так как  , то

   , для   будет выполняться неравенство  .

Сравним это с определением б. м. функции:

   , для   будет выполняться неравенство  .

Сравнивая определения предела функции и б. м. функции, видим, что f(x)-A  -  б.м. при  .

Теорема 2. Алгебраическая сумма конечного числа бесконечно малых при   функций есть функция бесконечно малая при  .

Доказательство. Пусть   - б.м. функции при  .

Надо доказать, что   есть б.м. функция при .

Возьмем >0, тогда и  .

Так как   - б.м. при  ,  ,  ,     ;

(2.1)

так как   - б.м. при  ,  ,  ,     ;            

так как   - б.м. при  ,  ,  ,     .

Возьмем  , тогда при   будут выполняться все три неравенства (2.1) одновременно.

.

Итак, для >0 мы нашли   такое, что при всех   выполняется неравенство  , =>   есть б.м. функция при .

Теорема 3. Произведение бесконечно малой при   функции на ограниченную в некоторой окрестности точки а функцию есть бесконечно малая функция при  .

Доказательство.   - б. м. при  функция;

f(x) - ограниченная в некоторой окрестности точки а функция.

Докажем, что    · f(x) – б. м. функция при  .

Поскольку f(x) - ограниченная в некоторой окрестности точки а функция, то   и К такие, что при х

(2.2)

    | f(x)| < К.

Возьмем произвольное >0 и рассмотрим число  ,

так как   - б. м. при  функция,  , что х:

(2.3)

    | |< .

Возьмем  , тогда при   будут выполняться оба неравенства (2.2) и (2.3) одновременно.

<

Итак, для >0  мы нашли   такое, что при всех х, удовлетворяющих  , выполняется неравенство | · f(x)|< , =>     · f(x) – б. м. функция  при  .

Теорема 4. Произведение конечного числа бесконечно малых при   функций есть функция, бесконечно малая при  .

Теорема 5 (о связи бесконечно малой и бесконечно большой функций). Если   - б. м. при  функция и  0 в некоторой окрестности точки а, то функция   есть б. б. функция при  .

Если   - при   б. б. функция, то функция   есть б. м. функция при  .