
- •Предел числовой последовательности. Предел функции.
- •Бесконечные пределы. Односторонние пределы.
- •Бесконечно малые и бесконечно большие функции. Их свойства.
- •Сравнение бесконечно малых функций.
- •Основные теоремы о пределах.
- •Признаки существования предела.
- •Непрерывность функции. Свойства функций, непрерывных на множестве.
- •Точки разрыва функции.
- •Функцию можно доопределить до
- •Производная. Геометрический смысл производной.
- •Связь между непрерывностью и дифференцируемостью функции.
- •Свойства производных.
- •Дифференциал. Связь между производной и дифференциалом. Дифференциал
- •Геометрический смысл дифференциала. Свойства дифференциала.
- •Применение дифференциала к приближенным вычислениям.
- •Производные высших порядков. Правило Лопиталя.
- •Возрастание и убывание функций.
- •Экстремумы функции.
- •Выпуклость графика функции. Точки перегиба графика.
- •Асимптоты графика функции.
- •Первообразная. Неопределенный интеграл.
- •Свойства неопределенного интеграла.
- •Интегрирование по частям и метод замены переменной в неопределенном интеграле. Метод замены переменной в неопределенном интеграле
- •Определенный интеграл. Геометрический смысл определенного интеграла.
- •Свойства определенного интеграла. Вычисление определенного интеграла. Свойства определенного интеграла
- •Интегрирование по частям и метод замены переменной в определенном интеграле.
- •Приложения определенного интеграла.
- •Несобственные интегралы первого рода.
- •Несобственные интегралы второго рода.
- •Линейное векторное пространство.
- •30. Скалярное произведение. Длина вектора. Угол между векторами. Коллинеарные и ортогональные векторы.
- •Системы векторов. Линейная зависимость векторов. Системы векторов
- •Ранг и базис системы векторов. Ранг и базис n‑мерного линейного векторного пространства.
- •Матрицы и их виды. Операции над матрицами. Матрицы
- •Определители. Свойства определителей.
- •Обратная матрица. Нахождение обратной матрицы. Обратная матрица
- •Ранг матрицы.
- •Системы линейных уравнений. Матричная форма записи системы. Системы линейных уравнений
- •Условие совместности.
- •Решение системы с помощью формул Крамера. Решение системы с помощью обратной матрицы.
- •Решение произвольных систем линейных неоднородных уравнений. Метод и таблицы Гаусса.
- •Нахождение неотрицательных базисных решений системы.
- •Общее уравнение прямой. Уравнение прямой с угловым коэффициентом.
- •Уравнение прямой, проходящей через данную точку в данном направлении. Уравнение прямой, проходящей через две данные точки.
- •Угол между двумя прямыми. Условие параллельности и перпендикулярности прямых.
- •Уравнение плоскости в пространстве.
- •Уравнение прямой в пространстве.
- •Эллипс. Окружность. Эллипс
- •Гипербола. Парабола.
- •Решение систем линейных неравенств.
- •Понятие функции многих переменных. Непрерывность функции многих переменных. Понятие функции многих переменных
- •Частные производные функции многих переменных.
- •Полный дифференциал.
- •Производная по направлению.
- •Градиент функции многих переменных.
- •Частные производные высших порядков.
- •Экстремумы функций многих переменных. Глобальный максимум.
Ранг матрицы.
Пусть
дана произвольная матрица размером
.
Возьмем произвольные k строк
и kстолбцов,
.
Минором порядка k называют определитель
порядка k, составленный
из элементов, расположенных на пересечении
выбранных k строк
и k столбцов,
и обозначают Mk.
Для
данной матрицы можно составить m · n миноров
первого порядка,
миноров
второго порядка и т.д.,
миноров k-го
порядка.
Определение 1. Рангом матрицы называется максимальный порядок минора, отличного от нуля, и обозначается r(A).
Очевидно,
что
.
Определение 2. Отличный от нуля минор порядка r=r(A) называется базисным минором матрицы А, а строки (столбцы), в которых он расположен, называют базисными строками (столбцами).
Теорема 1 (теорема о базисном миноре). Любой столбец (строка) матрицы А являетсялинейной комбинацией ее базисных столбцов (строк).
Теорема 2. Ранг матрицы равен максимальному числу линейно независимых строк (столбцов) матрицы.
При элементарных преобразованиях ранг матрицы не меняется. Ранг треугольной матрицы равен числу ненулевых строк этой матрицы.
Для того чтобы найти ранг матрицы, необходимо с помощью элементарных преобразований привести ее к треугольному виду и найти ранг полученной матрицы. Рассмотрим схему таких преобразований подробно. Пусть дана матрица
А=
.
Предположим, что а11 отличен от нуля (если а11=0, то, переставив строки, этого можно добиться). Разделим первую строку на а11, после чего на первом месте в первой строке будет стоять 1. Умножая последовательно первую строку на а21, а31, …, аm1 и вычитая, соответственно, из второй, третьей, …, n-й, образуем в первом столбце все нулевые элементы.
А
.
Преобразуем второй столбец, начиная с элемента а’22. Если этот элемент отличен от нуля, то аналогично вышеизложенному получим на его месте единицу, а ниже расположенные элементы превратим в нули. Если а’22=0, но ниже его в том же столбце есть элемент, отличный от нуля, то, поменяв местами строки, переставим его на место а’22. Если в столбце не окажется ненулевых элементов, то можно поменять местами столбцы, пока на месте а’22 не окажется ненулевой элемент.
После второго цикла получим новую эквивалентную матрицу.
А
.
Выполняя последовательно несколько циклов подобных эквивалентных преобразований и отбросив нулевые строки, придем окончательно к матрице
А
.
Буквой "а" условно обозначены элементы матрицы, которые могут принимать любые числовые значения.
Очевидно, что r(A)=m1, так как минор, расположенный в первых m1 строках и первых m1 столбцах, равен единице.
Вычисление ранга системы векторов можно свести к вычислению ранга матрицы. Из теоремы 2 следует, что ранг системы векторов равен рангу матрицы, столбцами (строками) которой являются векторы этой системы.
Пример. Найти ранг системы векторов
Составим матрицу из координат векторов и найдем ее ранг.
, r(А)=3,
=10.
Ранг данной системы векторов равен трем, т.е. она имеет три линейно независимых вектора.
Системы линейных уравнений. Матричная форма записи системы. Системы линейных уравнений
Определение 1. Система вида
называется
системой m линейных
уравнений с n неизвестными,
где x1, x2,
…, xn -
неизвестные,aij, i=
, j=
-
коэффициенты при неизвестных, b1, b2,
…, bm -
свободные члены.
Определение 2. Если все свободные члены равны нулю, то система называется однородной, и неоднородной - в противном случае.
Определение 3. Решением системы называется совокупность из n чисел с1, с2, …, сn, при подстановке которой в систему вместо неизвестных будет получено m числовых тождеств.
Определение 4. Система называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение, и несовместной в противном случае.
Определение 5. Совместная система называется определенной, если она имеет единственное решение, и неопределенной - в противном случае.
При изучении систем исследуют три вопроса:
1) совместна система или нет;
2) если система совместна, то является ли она определенной или неопределенной;
3) нахождение единственного решения в случае определенной системы и всех решений в случае неопределенной.
Матричная форма записи системы
Пусть дана система
Рассмотрим матрицы
,
,
.
С
помощью этих матриц систему можно
записать в виде
.
,
.