Ранг и базис системы векторов. Ранг и базис n‑мерного линейного векторного пространства.
Ранг и базис системы векторов
Определение 1. Рангом системы векторов называется максимальное число линейно независимых векторов системы.
.
Определение 2. Базисом системы векторов называется максимальная линейно независимая подсистема данной системы векторов.
Теорема. Любой вектор системы можно представить в виде линейной комбинации векторов базиса системы. (Всякий вектор системы можно разложить по векторам базиса.) Коэффициенты разложения определяются для данного вектора и данного базиса однозначно.
Доказательство. Пусть
система 
имеет
базис
.
1
случай.
Вектор
-
из базиса. Следовательно, он равен одному
из векторов базиса, допустим 
.
Тогда 
=
.
2
случай.
Вектор 
-
не из базиса. Тогда r>k.
Рассмотрим
систему векторов 
.
Данная система является
линейно зависимой, так как
-
базис, т.е. максимальная линейно
независимая подсистема. Следовательно,
найдутся числа с1,
с2,
…, сk,
с,
не все равные нулю, такие, что
=
.
Очевидно,
что 
(если с=0, то
базис системы является линейно зависимым).
.
Докажем, что разложение вектора по базису единственно. Предположим противное: имеется два разложения вектора по базису.
=
,
=
.
Вычитая эти равенства, получим
.
Учитывая линейную независимость векторов базиса, получим
.
Следовательно, разложение вектора по базису единственно.
Количество векторов в любом базисе системы одинаково и равно рангу системы векторов.
Пример. Дана система векторов: (2, 0), (5, 5), (4, 3).
r=2,
=
·
+
·
.
, ; , ; , - базисы системы.
Ранг и базис n‑мерного линейного
векторного пространства
Теорема 1. Ранг n-мерного пространства равен его размерности: r=n.
Доказательство. На основании теоремы Штейница ранг не превышает n. С другой стороны, в пространстве имеется система из n линейно независимых единичных векторов, следовательно, ранг не меньше n. Значит, базис содержит nвекторов.
Следствие 1. Любой базис n-мерного пространства состоит из n линейно независимых n-мерных векторов.
Следствие 2. Любая система в n-мерном пространстве, содержащая больше чем n векторов, линейно зависима.
Следствие 3. Любой вектор пространства можно однозначно разложить по векторам любого базиса. Коэффициенты разложения для данного вектора и данного базиса определяются единственным образом. Коэффициенты разложения называются координатами данного вектора в этом базисе.
Пример. 
(1,
0, 0, …, 0),
(0, 1, 0 … 0),
…
(0, 0, 0, …, 1).
Данная система образует базис в n-мерном пространстве, который называется единичным.
Возьмем вектор ā(а1, а2, ..., аn).
.
Матрицы и их виды. Операции над матрицами. Матрицы
Определение 1. Прямоугольная таблица чисел вида
называется
прямоугольной матрицей размера 
,
где m -
количество строк, а n -
количество столбцов.
Определение
2. Числа,
которые образуют матрицу, - aij,
где 
, 
,
называются элементами матрицы.
Определение 3. Числа i и j называются индексами элемента aij, i показывает, в какой строке расположен данный элемент, а j - в каком столбце находится этот элемент.
Две матрицы считаются равными, если равны их соответствующие элементы.
Виды матриц
Если m=n, то матрица называется квадратной матрицей порядка n.
Матрица
размера 
называется матрицей-столбцом.
.
Матрица
размера 
называется
матрицей-строкой.
.
Определение 1. Элементы матрицы, имеющие равные индексы, образуют главную диагональ матрицы.
Определение 2. Квадратная матрица называется диагональной, если все элементы вне ее главной диагонали равны нулю.
Определение 3. Диагональная матрица n-го порядка, у которой диагональные элементы равны единице, называется единичной матрицей n-го порядка и обозначается Е.
Определение 4. Матрица называется матрицей треугольного вида, если все элементы над (под) главной диагональю равны нулю.
Примеры. 
, 
.
Операции над матрицами
Определение 1. Транспонированием матрицы называется такое преобразование матрицы, при котором строки и столбцы меняются ролями при сохранении номеров. Транспонированная матрица обозначается АТ.
,
,
.
Для квадратной матрицы это преобразование эквивалентно симметричному отображению относительно главной диагонали.
Определение 2. Суммой (разностью) двух матриц одинакового порядка называется матрица того же порядка, каждый элемент которой равен сумме (разности) соответствующих элементов исходных матриц.
,
,
.
Определение 3. Произведением матрицы на число называется матрица того же размера, каждый элемент которой равен произведению соответствующего элемента исходной матрицы на это число.
,
,
.
Пример. 
, 
,
, 
,
, 
.
Определение 4. Произведением двух матриц А и В, размеры которых заданы соотношением: количество столбцов первой матрицы равно количеству строк второй, называется матрица С, у которой количество строк равно количеству строк первой матрицы, а количество столбцов равно количеству столбцов второй. Каждый элемент данной матрицы равен сумме попарных произведений элементов соответствующей строки первой матрицы и элементов соответствующего столбца второй.
, 
,
,
.
Примеры. 1)
, 
,
Умножить В на А нельзя, так как число столбцов матрицы В не равно числу строк матрицы А.
Пример
2. 
,
,
В · СС · В. Произведение матриц не коммутативно!
Пример
3.
, 
,
.
А · Е=Е · А=А.
Приведем свойства операций над матрицами.
1. А · В 
В · А -
произведение матриц не комму-
тативно.
2. А+В = В+А - сложение матриц коммутативно.
3. (А + В) +С = А + (В + С) - ассоциативность.
4. 
,
5. 
,
6. 
,
7. 
-
дистрибутивность.
8. 
-
дистрибутивность.
9. А · Е=Е · А=А.
10. 
.
11. 
.
12. 
.