31. Системы векторов. Линейная зависимость векторов. Системы векторов

 

Пусть дана система n-мерных векторов  .

Определение 1. Линейной комбинацией системы векторов называется выражение вида

,

где с₁, с₂, …, с_k - некоторые числа.

Определение 2. Выпуклой линейной комбинацией системы векторов называют линейную комбинацию, в которой все коэффициенты неотрицательны и сумма всех коэффициентов равна единице.

;  ,  ;  .

Определение 3. Вектор   разлагается по системе векторов  , если его можно представить в виде линейной комбинации векторов этой системы.

.

Линейная зависимость векторов

 

Определение 1. Система векторов   называется линейно зависимой, если один из векторов системы можно представить в виде линейной комбинации остальных векторов системы, и линейно независимой - в противном случае.

Определение 1´. Система векторов   называется линейно зависимой, если найдутся числа с₁, с₂, …, с_k, не все равные нулю, такие, что линейная комбинация векторов с данными коэффициентами равна нулевому вектору:  = , в противном случае система называется линейно независимой.

Покажем, что эти определения эквивалентны.

Пусть выполняется определение 1, т.е. один из векторов системы равен линейной комбинации остальных:

,

.

Линейная комбинация системы векторов равна нулевому вектору, причем не все коэффициенты этой комбинации равны нулю, т.е. выполняется определение 1´.

Пусть выполняется определение 1´. Линейная комбинация системы векторов равна  , причем не все коэффициенты комбинации равны нулю, например, коэффициенты при векторе  .

,

,

.

Один из векторов системы мы представили в виде линейной комбинации остальных, т.е. выполняется определение 1.

Определение 2. Единичным вектором, или ортом,   называется n-мерный вектор, у которого i-я координата равна единице, а остальные - нулевые.

                                   .            (1, 0, 0, …, 0),

                                                (0, 1, 0, …, 0),

                                               …

                  (0, 0, 0, …, 1).

Теорема 1. Различные единичные векторы n-мерного пространства линейно независимы.

Доказательство. Пусть линейная комбинация этих векторов с произвольными коэффициентами равна нулевому вектору.

= .

Из этого равенства следует, что все коэффициенты равны нулю. Получили противоречие.

Каждый вектор n-мерного пространства ā(а₁, а₂ , ..., а_n) может быть представлен в виде линейной комбинации единичных векторов с коэффициентами, равными координатам вектора

.

Теорема 2. Если системы векторов содержит нулевой вектор, то она линейно зависима.

Доказательство. Пусть дана система векторов   и один из векторов является нулевым, например  = . Тогда с векторами данной системы можно составить линейную комбинацию, равную нулевому вектору, причем не все коэффициенты будут нулевыми:

=  .

Следовательно, система линейно зависима.

Теорема 3. Если некоторая подсистема системы векторов линейно зависима, то и вся система линейно зависима.

Доказательство. Дана система векторов  . Предположим, что система   линейно зависима, т.е. найдутся числа с₁, с₂, …, с_r, не все равные нулю, такие, что  =  . Тогда

=  .

Получилось, что линейная комбинация векторов всей системы равна  , причем не все коэффициенты этой комбинации равны нулю. Следовательно, система векторов линейно зависима.

Следствие. Если система векторов линейно независима, то и любая ее подсистема также линейно независима.

Доказательство.

Предположим противное, т.е. некоторая подсистема линейно зависима. Из теоремы следует, что вся система линейно зависима. Мы пришли к противоречию.

Теорема 4 (теорема Штейница). Если каждый из векторов   является линейной комбинацией векторов   и m>n, то система векторов   линейно зависима.

Следствие. В любой системе n-мерных векторов не может быть больше чем n линейно независимых.

            Доказательство. Каждый n-мерный вектор выражается в виде линейной комбинации n единичных векторов. Поэтому, если система содержит m векторов и m>n, то, по теореме, данная система линейно зависима.