29. Линейное векторное пространство.

Определение 1. Упорядоченная совокупность из n действительных чисел (а₁, а₂, …,а_n) называется n-мерным вектором ā(а₁, а₂, …, а_n). Числа а₁, а₂, ..., а_n называются координатами вектора.

Два n-мерных вектора  (а₁, а₂, …, а_n) и  (b₁, b₂, …, b_n) считаются равными, если равны их соответствующие координаты:

, ( ).

Вектор, все координаты которого равны нулю, называется ноль-вектором и обозначается  .

Пример.  (3; 1/2; 0,7; -2; 0) - пятимерный вектор.

Определение 2. Суммой (разностью) двух n-мерных векторов  (а₁, а₂, …, а_n) и  (b₁, b₂, …, b_n) называется n-мерный вектор, координаты которого равны суммам (разностям) соответствующих координат исходных векторов:

=(a₁ b₁; a₂ b₂; …; a_n b_n).

Определение 3. Произведением n-мерного вектора  (а₁, а₂, …, а_n) на число kназывается n‑мерный вектор, координаты которого равны произведениям координат вектора   на число k:

k ·  =(ka₁; ka₂; …; ka_n).

Для геометрических векторов (n<4) эти операции эквивалентны правилу параллелограмма или треугольника и растяжению (сжатию) вектора.

Пример. Пусть даны три вектора:  ,   и  (-1,2).

 +  = (5; 4),           -  = (3; -2),         2 =(-2,4).

             рис40                                       

                                       

   

Свойства операций над векторами:

1)  + = +                                 - коммутативность,

2)  +( + )=( + )+                  - ассоциативность,

3) k·( )=k· k·                    - дистрибутивность,

4) (k₁ k₂)· = k_{1 ·}  k₂· ,

5) (k₁·k₂)· =k₁·(k₂· ),

6) 1· = ,

7) 0· = ,

8) k· = ,

9) k· = .

Определение 4. Совокупность всех n-мерных векторов с введенными на ней операциями сложения и умножения на число называется n-мерным линейным векторным пространством и обозначается Eⁿ.

Пример. E² - совокупность всех двухмерных векторов плоскости с обычными операциями сложения и умножения на число.

30. Скалярное произведение. Длина вектора. Угол между векторами. Коллинеарные и ортогональные векторы.

Скалярное произведение.

Длина вектора. Угол между векторами

 

Определение 1. Скалярным произведением двух n-мерных векторов  (а₁, а₂, ..., а_n) и  (b₁, b₂, ..., b_n) называется число, равное сумме попарных произведений соответствующих координат.

· =а₁·b₁+a₂·b₂+…+a_n·b_n.

Свойства скалярного произведения:

1.  · = ·                                     - коммутативность;

2.  ·( + )= · + ·       - дистрибутивность;

3. k·( · )=(k· )· ,

4.  · = ² ,  ²=0 .

Определение 2. Длиной n-мерного вектора называется величина:

.

Определение 3. Углом между двумя ненулевыми n-мерными векторами называется угол, косинус которого вычисляется по формуле

.

Коллинеарные и ортогональные векторы

 

Определение 1. Два n-мерных вектора   и   называются коллинеарными, если найдется число   такое, что  =  · .

Рассмотрим два коллинеарных вектора   и  . Так как они коллинеарны, то  =  ·  , или (a_1, a_2, …, a_n)=( b_1,  b_2,…,  b_n ). Следовательно, a₁= b_1, a₂= _2, …, a_n= b_n.

Выражая из этих равенств , получим

 - условие коллинеарности.

Для того чтобы два вектора были коллинеарными, необходимо и достаточно, чтобы их координаты были пропорциональны.

Найдем угол между коллинеарными векторами.

.

Определение 2. Два ненулевых n-мерных вектора   и   называются ортогональными, или перпендикулярными, если угол между ними равен 90°.

,

 - условие ортогональности.

Пример.  (2;1),  (-4;-2),  (1;-2).

    рис 41                  =   ,                                        

                                                                         ·  =2 · 1+1 · (-2)=0.                    

Векторы  и   коллинеарны,        

векторы  и   ортогональны.