Несобственные интегралы первого рода.
Пусть функция y = f(x) определена и непрерывна на [a,).
Рассмотрим интеграл
.
Y
рис31
Вычисление
несобственного интеграла можно свести
к вычислению обычногоопределенного
интеграла и
нахождению предела (
).
.
Если
предел, стоящий справа, существует и
конечен, то несобственный интеграл
называется сходящимся и он равен значению
этого предела. В противном случае
интеграл называется расходящимся.
Пусть F(x) – одна из первообразных f(x), тогда
.
Обозначим 
.
Тогда 
F()-F(a) -
обобщенная формула Ньютона - Лейбница
(для вычисления несобственного интеграла).
Пример
1. 
.
=
Y
|
|
|
|
Рис32
Интеграл сходится и равен .
Пример
2. 
=.
рис33
Интеграл расходится.
Аналогично определяются несобственные интегралы первого рода по другим неограниченным промежуткам.
Рассмотрим интеграл по промежутку (-;b].
.
Рассмотрим интеграл по промежутку (-:+).
.
Данный интеграл сводится к предыдущим двум типам. Возьмем произвольную точку с.
.
Если оба предела, стоящие в правой части, существуют и конечны, то несобственный интеграл называют сходящимся, а иначе - расходящимся.
Пример. 
рис34
Данный интеграл сходится и равен нулю.
Несобственные интегралы второго рода.
Если функция не ограничена на промежутке интегрирования и промежуток интегрирования конечен, то определенный интеграл является несобственным интегралом второго рода.
1. Пусть функция y = f(x) определена и непрерывна на [a,b) и в точке b функция не ограничена.
.
|
|
|
|
Рис35 Если предел, стоящий справа, существует и конечен, то несобственный интеграл называется сходящимся и равен значению этого предела, в противном случае интеграл называется расходящимся.
Если F(x) - первообразная функции, то
.
Пример. 
|
|
|
|
рис36
Несобственный интеграл сходится.
2. Аналогично определяются интегралы второго рода в других ситуациях: y =f(x) определена и непрерывна на (a,b] и в точке а не ограничена.
рис37
.
3. Пусть функция y = f(x) определена и непрерывна на [a,c)(c,b], и в точке сфункция терпит разрыв второго рода.
рис38
.
Если оба предела, стоящие в правой части, существуют и конечны, то несобственный интеграл называется сходящимся и он равен сумме этих пределов, в противном случае – расходящимся.
Замечание 1. Несобственные интегралы могут быть комбинированного типа: первого и второго рода; или второго рода с несколькими точками разрыва второго рода.
Замечание 2. Если функция на отрезке интегрирования терпит разрыв первого рода в точке с, то определенный интеграл от нее по этому отрезку не является несобственным, т.е. его можно свести к сумме двух обычных определенных интегралов.
.
рис39