22. Интегрирование по частям и метод замены переменной в неопределенном интеграле. Метод замены переменной в неопределенном интеграле

 

Теорема 1. Пусть функция х= φ(t) определена и дифференцируема на некотором промежутке Т, а Х – множество значений этой функции, на котором определена функцияf(x). Тогда, если функция f(x) имеет первообразную на множестве Х, то на множестве Тсправедлива формула

 f(x)dx =  f(φ(t))φ'(t)dt.

Доказательство. Найдем дифференциалы обеих частей равенства:

d( f(x)dx) = f(x)dx = f(φ(t))d(φ(t)) = f(φ(t))φ'(t)dt,

d( f(φ(t))φ'(t)dt) = f(φ(t))φ'(t)dt.

Дифференциалы обеих частей равны, значит, сами интегралы могут отличаться лишь на постоянное слагаемое.

При подходящем выборе функции φ(t) интеграл становится значительно проще исходного интеграла.

Пример. 

Новую переменную можно не выписывать явно. В таких случаях говорят о введении постоянных и переменных под знак дифференциала или о тождественном преобразовании дифференциала.

Пример 1.   ,

.

Пример 2.   ,

d (sin x) = cos х dx.

Метод интегрирования по частям

в неопределенном интеграле

 

Теорема. Пусть функции u и υ определены и дифференцируемы на некотором промежутке Т и функция du·υ имеет на этом промежутке первообразную. Тогда функцияu·dυ также имеет первообразную на промежутке Т, причем справедлива формула

udυ = uυ - υdu.

Доказательство. Найдем дифференциал от их произведения  u · υ.

d(uυ) = du·υ + u·dυ.

Проинтегрируем обе части этого равенства.

d(uυ) = (du·υ + u·d υ).

uυ =  υdu +  udυ,

 udυ = uυ -  υdu  -  формула интегрирования по частям.

С помощью этой формулы первообразная частично находится, и оставшиеся интегральные слагаемые, как правило, - проще исходного интеграла.

Данная формула применяется к интегралам следующих видов.

1)                                          ,

где P(x) - многочлен, его выбирают в качестве u.

2)                                          .

В качестве u  выбирают трансцендентную функцию.

3) Циклические интегралы – это те, в которых подынтегральная функция представляется в виде произведения двух функций, мало меняющихся при интегрировании и дифференцировании.

Пример 1.  

.

Пример 2.

= .

23. Определенный интеграл. Геометрический смысл определенного интеграла.

Определенный интеграл

 

Пусть функция  у = f(x) определена, непрерывна (следовательно, ограничена) на [a,b]. Разобьем отрезок [a,b] на n произвольных частей точками

a = x₀ x₁   x₂   …  x_n  = b.

Длину   i -го отрезка разбиения обозначим

х_i = x_i  - x_i-1, i =  .

Внутри i -го отрезка разбиения выберем  по произвольной точке с_i

 

                                                                                                         рис 20

и составим сумму

 .                                                      (1)

Определение 1. Сумма вида (1) называется интегральной суммой функции f(x) по отрезку [a,b].

Определение 2. Если существует конечный предел интегральных сумм вида (1) при уменьшении длин отрезков разбиения, то он не зависит от способов разбиения отрезка. Этот предел называется определенным интегралом от функции f(x) по отрезку [a,b] и обозначается  .

.

Геометрический смысл

определенного интеграла

 

Пусть функция  у = f(x) определена и непрерывна на [a,b]. Разобьем отрезок [a,b] на n частей точками, в каждом отрезке разбиения возьмем по точке с_i  и составиминтегральную сумму

.                                                  (1)

Выясним, что представляет собой геометрически интегральная сумма.

 

        рис 21                    

 

Из рисунка видно, что интегральная сумма равна площади ступенчатой фигуры, вписано–описанной около графика функции. При измельчении длин отрезков разбиения площадь этой фигуры будет неограниченно приближаться к площади фигуры, заключенной между графиком функции и осью  ОХ  на отрезке [а,b].

С другой стороны, предел интегральной суммы вида (1) при измельчении длин отрезков разбиения равен определенному интегралу   , следовательно, определенный интеграл равен площади криволинейной трапеции, заключенной между графиком функции и осью  ОХ  на отрезке [a,b].