1. Предел числовой последовательности. Предел функции.

Определение 1. Функция, заданная на множестве натуральных чисел со значениями во множестве действительных чисел, называется числовой последовательностью.

Определение 1'. Числовой последовательностью   называется занумерованное множество действительных чисел.

a₁, a₂, a₃, ..., a_n...

Определение 2. Число А называется пределом числовой последовательности  , если для любого положительного  (>0) существует номер N такой, что при всех номерах n>N выполняется неравенство  . Последовательность   называется сходящейся к числу А.

Кратко это можно записать так:

.

Пример. Рассмотрим последовательность  1,  ,  ,  , ...,  ... .

Изобразим ее поведение графически.

 

 

 

 

 

 Рис 1

 

Из диаграммы видно, что с ростом n члены последовательности стремятся к нулю. Покажем, что предел этой последовательности равен нулю с помощью определения предела.

Возьмем в качестве  число  . Найдем номер N такой, что при всех номерах n>N выполняется неравенство  ,

= ,

,

,

.

В качестве N можно взять следующее за числом   натуральное число. Аналогично можно подобрать номер N для произвольного >0.

Определение 3. Числовая последовательность   имеет предел, равный + (-), если для любого числа G>0 найдется номер N такой, что при всех номерах n>N выполняется неравенство  a_n>G (a_n<-G).

Пример.  Рассмотрим последовательность

            1, 3, 9, 27...

 

 

 

 

 

 

Рис 2 

 

 

 

Возьмем G=1000,

3ⁿ>1000,

n>log₃1000.

Предел функции

 

Пусть функция   определена в некоторой окрестности точки аR за исключением быть может, самой точки а.

Определение. Число А называется пределом функции   при  , если для любого >0 найдется  такое, что при всех х, удовлетворяющих неравенству 0< , будет выполняться неравенство  . Кратко это можно записать так:

.

Выясним, что представляет собой геометрически понятие предела функции. Раскроем знаки модуля в неравенствах из определения предела функции:

,                 ,

,      .

Аналогично  .

Геометрически это означает, что какую бы окрестность точки А на оси ОY мы ни взяли, всегда найдется окрестность точки а на оси ОХ, которую функция переводит в окрестность осиОY.

  Рис3                                                                                           

2. Бесконечные пределы. Односторонние пределы.

Определение 1. Функция y=f(x) имеет предел при , равный + (-), если М>0    такое, что при всех х, удовлетворяющих  , выполняется неравенство f(x)>М (f(x)<-М).

Определение 2. Число А называется пределом функции y=f(x) при   слева, или левосторонним пределом, если >0   такое, что при всех х, удовлетворяющих условно  , выполняется неравенство |f(x)-А|<.

Определение 3. Число А называется пределом функции y=f(x) при   справа, или правосторонним пределом, если >0   такое, что при всех х, удовлетворяющих неравенству  , выполняется неравенство |f(x)-А|<.

 или    - слева,

 или    - справа.

Функция имеет предел в некоторой точке, равный некоторому значению, тогда и только тогда, когда существуют и равны этому же значению оба односторонних предела.

= =А   =А.

 

Пример.

Найти предел функции   при  .

0,                        +,

                                         Рис 4

Предела функции при   не существует.