4. Линейные ду первого порядка.
Линейным
ДУ первого порядка
называется ДУ вида
,
линейное относительно неизвестной
функции и её производной. Делением на
его приводят к виду
,
(7)
называемому
нормальным.
Если
,
то ДУ называется линейным
однородным,
в противном случае – линейным
неоднородным.
Линейное
однородное ДУ
является ДУ с разделяющимися переменными.
Линейное неоднородное ДУ (7) можно решить двумя методами. Каждый из них сводит его решение к интегрированию двух ДУ с разделяющимися переменными.
В
методе
Бернулли
решение уравнения (7) находится в виде
,
где
и
– функции, подлежащие определению.
Пример
7. Решим
линейное неоднородное ДУ
.
Сделав замену
,
имеем:
.
Группируем слагаемые, например, первое
с третьим:
.
Потребовав, чтобы скобка равнялась
нулю, получаем линейное однородное ДУ
.
Найдём какое-нибудь его частное решение.
Для этого находим общее решение
и, положив в нём
,
получаем
.
Подставив найденную функцию v
в ДУ с группировкой, имеем ДУ
относительно неизвестной функции
.
Разделяем переменные и, интегрируя,
находим
.
Перемножив
и
,
получаем общее решение исходного ДУ:
(C
– любое).
Другой способ решения линейного неоднородного ДУ (7) называется методом вариации произвольной постоянной или методом Лагранжа.
Пример
8. Снова
решим уравнение примера 7. Составим
линейное однородное ДУ, соответствующее
данному неоднородному. Для этого его
правую часть заменим на ноль:
.
Общее решение этого ДУ с разделяющимися
переменными имеет вид
.
Будем
искать в этом
же виде общее
решение исходного неоднородного ДУ,
считая C
уже не постоянной, а неизвестной функцией
от
,
– «варьируем постоянную C»:
.
Подставив
и
в исходное ДУ, имеем
откуда
.
Можем теперь записать общее решение
исходного уравнения
.
Ответ совпадает с найденным в примере
7.
5. Уравнение Бернулли.
Рассмотрим ДУ первого порядка вида
.
(8)
При
ДУ (8) является линейным неоднородным
ДУ, при
– ДУ с разделяющимися переменными.
При
,
ДУ (8) называется уравнением
Бернулли.
Заменой
неизвестной функции
уравнение Бернулли сводится к линейному
неоднородному ДУ.
Пример
9. Рассмотрим
ДУ
.
Записав его в виде
,
заключаем, что это уравнение Бернулли
(8) при
.
Разделим обе его части на
:
.
Полагая
,
находим
и делаем замену в ДУ. Приходим к линейному
неоднородному ДУ
,
решённому в примерах 7 – 8.
К уравнению Бернулли (8) можно непосредственно применять методы Бернулли и Лагранжа, не приводя его предварительно к линейному виду (7).
6. Ду в полных дифференциалах.
Рассмотрим
ДУ первого порядка в дифференциальной
форме (3):
.
Необходимым
и достаточным условием того, чтобы
выражение
было полным дифференциалом некоторой
функции двух переменных
,
является тождество
,
(9)
называемое признаком полного дифференциала. При его выполнении ДУ (3) называется уравнением в полных дифференциалах.
Так
как полный дифференциал
совпадает с левой частью уравнения (3):
,
то (3) можно записать в виде
.
Если знать функцию
,
то общий интеграл ДУ (3) будет иметь вид
.
Пример
10. Найти
общее решение ДУ
.
Это ДУ является уравнением
в полных дифференциалах, так
как
,
.
Значит, существует функция
такая, что
,
.
Из первого равенства
,
где
– произвольная функция переменной y.
Чтобы найти её, вычислим производную
и подставим во второе равенство. Получаем
,
.
Положив
,
имеем
и находим общий интеграл ДУ:
.
Другой способ нахождения функции основан на вычислении криволинейного интеграла второго рода. Согласно этому способу общий интеграл ДУ в полных дифференциалах (3) определяется одной из следующих формул:
,
(10)
,
(11)
где
точка
берётся из области непрерывности функций
и
.
Пример
11. Решим
ДУ примера 10. При
,
имеем
и
получаем найденный в примере 10 общий
интеграл
