Дифференциальные уравнения Общие сведения

Для многих динамических (меняющихся во времени) процессов и явлений часто значительно легче записать закон их поведения в виде дифференциального уравнения, чем в виде конкретной функции времени.

Определение. Уравнение, в которое неизвестная функция входит под знаком производной или дифференциала, называется дифференциальным уравнением (ДУ).

Если неизвестная функция является функцией одной независимой переменной, то ДУ называется обыкновенным. Если неизвестная функция зависит от двух или большего числа переменных, то ДУ называется дифференциальным уравнением в частных производных. Далее будут рассматриваться только обыкновенные ДУ.

Определение. Порядком ДУ называется порядок наивысшей производной (или дифференциала) неизвестной функции, входящей в ДУ.

Например, дифференциальные уравнения и являются ДУ первого порядка, а ДУ имеет второй порядок.

Определение. Решением ДУ порядка n называется функция, имеющая непрерывные производные до порядка включительно и при подстановке в ДУ обращающая его в тождество.

Ду первого порядка. Основные понятия

ДУ первого порядка – это уравнение вида

. (1)

Это самая общая форма записи, называемая ДУ первого порядка, неразрешённым относительно производной.

Если (1) удаётся разрешить относительно и записать в виде

, (2)

то (2) называется ДУ первого порядка, разрешённым относительно производной. Функция называется правой частью ДУ (2).

Используя равенство , от записи (2) можно перейти к дифференциальной форме записи ДУ первого порядка:

. (3)

В ходе решения ДУ пользуются той формой записи, которая является наиболее удобной.

Вопрос. Сколько решений имеет ДУ первого порядка?

Ответ. Бесчисленное множество решений.

Пример 1. Рассмотрим ДУ первого порядка . Его решением является функция . Функции и также являются его решениями. Подстановкой проверяется, что любая функция вида , где С – некоторая постоянная, является решением данного ДУ. Таким образом, оно имеет бесчисленное множество решений.

Подобная ситуация имеет место для всех ДУ, и требование «решить ДУ» означает описать множество всех его решений. Для ДУ первого порядка это достигается путём отыскания такого его решения, которое зависит от одной произвольной постоянной и содержит в себе тем самым бесчисленное множество решений. Это решение называют общим решением. Сформулируем точное определение.

Определение. Общим решением ДУ первого порядка называется функция , зависящая от одной произвольной постоянной C и удовлетворяющая следующим условиям:

а) функция удовлетворяет ДУ при любом конкретном значении постоянной C в некоторой области D изменения переменных и ;

б) какова бы ни была точка , равенство разрешимо относительно C, то есть существует значение такое, что .

Функция есть общее решение ДУ примера 1.

В ходе решения ДУ его преобразуют к виду, из которого можно найти общее решение. Два ДУ называются эквивалентными, если решения одного из них являются решениями другого. В процессе преобразования далеко не всегда оказывается возможным переход к эквивалентному уравнению, поэтому нужно следить за тем, чтобы не «терять» решений исходного ДУ и не «приобретать» лишних.

Если в процессе разыскания общего решения приходим к соотношению вида , которое неразрешимо относительно , то и в этом случае задача решения ДУ считается выполненной.

Определение. Равенство , задающее в неявном виде общее решение ДУ первого порядка, называется общим интегралом.

Придав произвольной постоянной C некоторое определённое значение , мы получим из общего интеграла частный интеграл , а из общего решения – частное решение . Чтобы определить значение для выделения конкретного частного решения, необходимо выполнение некоторого условия.

Определение. Условие, что при заданном значении функция должна равняться заданному числу , называется начальным условием. Для ДУ первого порядка оно записывается в виде

или . (4)

Числа , называются начальными данными.

Определение. Задача отыскания частного решения ДУ, удовлетворяющего начальному условию, называется задачей Кошú.

Пример 2. Задача Коши , . Её решение .

Пусть поставлена задача Коши: найти решение ДУ первого порядка (2) , удовлетворяющее начальному условию (4).

Теорема (существование и единственность решения задачи Коши). Если правая часть ДУ (2) и её частная производная непрерывны в некоторой области плоскости , содержащей точку , то существует единственное решение ДУ (2), удовлетворяющее начальному условию (4).

Рассмотрим ДУ (2) , разрешённое относительно производной. График его частного решения на плоскости Оху называется интегральной кривой. Общее решение (или общий интеграл ) определяет на плоскости семейство интегральных кривых с параметром . Задача Коши (2), (4) состоит в нахождении той из интегральных кривых, которая проходит через заданную точку .

Производная решения ДУ (2), с одной стороны, равна угловому коэффициенту касательной к интегральной кривой в точке , с другой стороны, равна правой части ДУ (2). Тем самым ДУ (2) устанавливает связь между координатами точки на плоскости Оху и угловым коэффициентом касательной к интегральной кривой, проходящей через эту точку. В этом состоит геометрический смысл ДУ (2), разрешённого относительно производной.