Функциональные ряды
Определение. Ряд называется
функциональным, если его члены
являются функциями одной действительной
переменной
:
.
(1)
Если подставить в (1) вместо
числовое значение
из области определения функций
,
то получится числовой ряд
,
(2)
который может оказаться сходящимся или расходящимся.
Определение. Если числовой ряд (2) сходится, то значение называется точкой сходимости функционального ряда (1).
Определение. Множество всех точек сходимости функционального ряда (1) называется его областью сходимости.
Определение. Функциональный
ряд (1) называется абсолютно сходящимся
в точке
,
если соответствующий числовой ряд (2)
абсолютно сходится. Если ряд (1) сходится
абсолютно в каждой точке некоторого
множества
,
то его называют абсолютно сходящимся
на множестве
.
Пример 1. Функциональный ряд
является геометрическим рядом со
знаменателем
,
поэтому сходится при
,
т.е. имеет областью сходимости интервал
.
При этом ряд абсолютно сходится на всей
области сходимости, так как ряд из
модулей
сходится при
.
Обозначим через
сумму первых n членов
функционального ряда (1). Из определения
точки сходимости следует, что для каждой
точки сходимости
существует предел
,
равный некоторому числу
.
Тем самым на области сходимости определена
однозначная функция
,
называемая суммой функционального
ряда (1). Как и для числовых рядов, пишут
тогда
.
Так, ряд из примера 1 при
имеет сумму
.
Равномерная сходимость функционального ряда
Для каждого заданного значения
из области сходимости функционального
ряда (1)
,
где
– п-ый остаток ряда (1). По определению
предела последовательности это означает,
что для любого числа
можно указать номер
,
такой, что для всех номеров
и данного
выполняется неравенство
.
Номер
зависит не только от выбора числа
,
но, вообще говоря, и от выбора точки
.
Определение. Если для любого
числа
можно указать номер
такой, что для всех номеров
и всех
из некоторого множества
выполняется неравенство
,
то ряд (1) называется равномерно
сходящимся на множестве
.
Геометрически определение равномерной сходимости иллюстрируется рисунком.
Равномерно сходящиеся функциональные ряды обладают следующими общими свойствами.
Теорема 1. Если члены равномерно сходящегося ряда (1) непрерывны на множестве , то его сумма также непрерывна на .
Теорема 2. Если на отрезке
:
а) члены ряда (1) непрерывны;
б) ряд (1) равномерно сходится,
то его сумма интегрируема на , и выполняется равенство
.
(3)
В этом случае говорят, что ряд (1) можно интегрировать почленно на отрезке .
Теорема 3. Если на отрезке :
а) ряд (1) сходится;
б) его члены имеют непрерывные производные;
в) ряд из производных равномерно сходится,
то сумма ряда (1) дифференцируема на , и выполняется равенство
.
(4)
В этом случае говорят, что ряд (1) можно дифференцировать почленно на отрезке .
Значение перечисленных свойств состоит в том, что для равномерно сходящихся функциональных рядов оказываются справедливыми свойства сумм конечного числа функций: «сумма непрерывных функций непрерывна», «производная суммы равна сумме производных», «интеграл от суммы равен сумме интегралов». К рядам, сходящимся неравномерно, эти свойства применять, вообще говоря, нельзя.